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Ableitung

Die Ableitung einer Funktion f in einem Punkt x_{0} ist die Steigung der Tangente an den Graph der Funktion in diesem Punkt. Man betrachtet dazu den Differenzenquotienten\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}, das heißt die Steigung der Sekante durch die Punkte \left ( x_{0},f(x_{0}) \right ) und \left ( x,f(x) \right ). Besitzt dieser für x gegen x_{0} einen Grenzwert, so heißt f im Punkt x_{0} differenzierbar. Der Grenzwert heißt ->Differenzialquotient oder die Ableitung im Punkt x_{0} und wird mit {f}'(x_{0}) bezeichnet.

Exponentialfunktion

Alle Funktionen der Form f(x)=a^{x} für eine feste Basis a > 0 heißen Exponentialfunktionen, da sie in Funktionen mit der Basis e umgewandelt werden können.Beispiel:Die Funktion f(x)=4^{x} kann geschrieben werden als f(x)=e^{x\ln 4} .

Funktion

Der Funktionsbegriff ist zentral für die Mathematik. Eine Funktion (oder ->Abbildung) ist eine eindeutige Zuordnung zwischen Mengen, in der Regel meist Mengen von Zahlen. Jedem Element des Definitionsbereichs wird gemäß einer Zuordnungsvorschrift genau ein Element, der Funktionswert, aus dem Wertebereich zugeordnet.

Graph (Funktion)

Ein Graph ist die Darstellung einer Funktion im Koordinatensystem. Der Wert x und der zugehörige Funktionswert f(x) werden als Koordinaten eines Punkts (x|f(x)) aufgefasst und dieser wird markiert.

gerade Funktion

Eine Funktion heißt gerade, wenn die y-Achse den Graphen spiegelt, anders ausgedrückt, wenn gilt: f(x)=f(-x) für alle einsetzbaren Werte x. Beispiele:Die Funktionen f(x)=x^2 oder f(x)= \cos x sind gerade Funktionen.

Graph

Eine Menge von Punkten im zweidimensionalen Koordinatensystem wird als Graph bezeichnet, wenn sie einer Abbildung entspricht, d.h. wenn für jeden der Punkte die y-Koordinate der Funktionswert der x-Koordinate ist.

Minimum

Beim Minimum einer Funktion unterscheidet man zwischen globalem Minimum und lokalem Minimum. Ein globales Minimum ist ein minimales Element des Wertebereichs (->Abbildung). Ein lokales Minimum liegt vor, wenn alle Funktionswerte in einer Umgebung größer sind. Bei einer differenzierbaren Funktion berechnet man ein lokales Minimum, indem man f^\prime(x)=0 setzt und überprüft, ob für die Lösung  f^{\prime\prime}(x) > 0 gilt oder überprüft, ob bei f^\prime(x) ein Vorzeichenwechsel vonnach + stattfindet.

partielle Differentiation

Eine Funktion von zwei (oder mehreren) Variablen ist nach einer der Variablen partiell differenzierbar, wenn der Differentialquotient für diese Variable existiert, bei zwei Variablen etwa nach x an der Stelle (x_{0},y), wenn \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x,y)-f(x_{0},y)}{x-x_{0}} existiert. Dieser Grenzwert heißt partielle Ableitung von f nach x; man schreibt f_{x}(x_{0},y). Partielle Ableitungen werden nach denselben Regeln gebildet, wie die Ableitungen von Funktionen nur einer Variablen, indem alle anderen x_{j} mit i\neq j als konstant angesehen werden. Geometrisch wird f_{x} auch als Richtungsableitung von f in Richtung \vec{x} bezeichnet.

Parameter

Der Begriff Parameter kommt mit unterschiedlichen Bedeutungen vor. 1. Zur Darstellung einer Funktionenschar. Funktionen f_{t}, die von gleicher Bauart sind und sich nur in der Konstanten t unterscheiden. Beispiel: f_{t}=x^{2}+t ist für jede reelle Zahl t eine quadratische Funktion. Die Graphen sind Parabeln, die längs der y-Achse verschoben sind. 2. In der analytischen Geometrie als -> Parameterdarstellungen von Geraden und Ebenen.

punktsymmetrisch

Eine Funktion ist punktsymmetrisch bzgl. eines Punkts P, wenn der Graph durch eine -> Punktspiegelung an P in sich überführt wird.

Quotientenregel

Die Quotientenregel in der Differentialrechnung gibt die Ableitung des Quotienten zweier differenzierbarer Funktionen an. Sind f und g differenzierbar, so gilt für h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}:h^\prime(x)=\frac{g(x)f^\prime(x)-f(x)g^\prime(x)}{\left ^{2}}

Schnittpunkt

Zwei nicht parallele, nicht gleiche Geraden im zweidimensionalen Raum schneiden sich in einem Punkt, dem Schnittpunkt. Allgemeiner auch Bezeichnung für einen gemeinsamen Punkt zweier Funktionen mit unterschiedlichen Steigungen.

Schaubild

Andere Bezeichnung für den Graphen einer Funktion.

stetige Funktion

Eine in allen Punkten des Definitionsbereichs stetige Funktion heißt stetige Funktion.

stetig

Eine Funktion heißt in einem Punkt ihres Definitionsbereichs (meist ein Intervall) stetig, wenn die Grenzwerte von links und rechts existieren und gleich sind. Man kann sich das auch so vorstellen, dass man den Graphen in dem betrachteten Intervall ohne Absetzen des Bleistifts durchzeichen kann. Der Graph darf keine ->Pol- oder Sprungstellen haben.

Sprungfunktion

Eine Funktion, die sprunghaft ihren Wert nur einmal ändert heißt Sprungfunktion: Es gilt allgemein: f(x)=\begin{cases} a & \text{ für } x\leq k \\\ b & \text{ für } x> k \end{cases}

Symmetrische Funktion

Für achsensymmetrische Funktionen gilt f(x) = f(-x) für alle x. Beispiel: f(x) = x² + 5 Bei punktsymmetrische Funktionen (zum Ursprung) gilt f(x) = -f(-x) für alle x. Beispiel: f(x) = 3x³ + 4x

Verkettung

Die Funktion f:x\rightarrow \sqrt{3x^{3}++2x},x\geq 0, entsteht durch „Verketten" (Komposition) der Funktionen f_{1}:x\rightarrow \sqrt{x} und f_{2}:x\rightarrow 3x^{3}++2x : f(x)=f_{1}(f_{2}(x)).

Wertetabelle

Eine Zusammenstellung von Argument- und Funktionswerten einer gegebenen Funktionsgleichung in einer Tabelle nennt man Wertetabelle. Beispiel: Zur Funktionsgleichung f(x)=x³ könnte eine Wertetabelle wie folgt aussehen. x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x) -27 -8 -1 0 1 8 27

Wertepaar

Ist f eine Funktion mit dem Definitionsbereich D, so wird jedem x\in D genau ein f(x)\in M zugeordnet. Das geordnete Paar (x, f(x)) heißt Wertepaar.

Wurzelfunktion

Ist eine für nicht negative Zahlen definierte Funktion, die jeder Zahl ihre Wurzel zuordnet.

Extremwert

Ein lokales Maximum (y-Wert eines Hochpunktes) und ein lokales Minimum (y-Wert eines Tiefpunktes) einer Funktion werden als relative Extremwerte bezeichnet. Die x-Werte, an denen diese angenommen werden, heißen Extremstellen. Man spricht von globalen Extremwerten wenn es keine größeren bzw. kleineren Werte gibt.

Partialbruchzerlegung

Hat die quadratische Gleichung x² + ax + b = 0 zwei verschiedene Lösungen x_{1} und x_{2}, so lässt sich der Bruchterm \frac{1}{x^{2}++ax++b} zerlegen in \frac{1}{x^{2}++ax++b}=\frac{A}{x-x_{1}}++\frac{B}{x-x_{2}} mit Konstanten A und B, die man durch ->Koeffizientenvergleich bestimmen kann. Beispiel: Da x² + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5) gilt, kannst du \frac{1}{x^{2}++8x++15}=\frac{A}{x++5}++\frac{B}{x++3} ansetzen. Bringst du die Bruchterme der rechten Seite auf den Hauptnenner, so wird der Zähler (x + 3)A + (x + 5)B = 1. Umstellen ergibt x(A + B) + (3A + 5B) = 1 und durch Koeffizientenvergleich: A + B = 0 oder B = -A…

Analysis

Unter Analysis versteht man das Studium reeller Funktionen mit Hilfe der Differenzial- und Integralrechnung. Die Grundlagen hierzu wurden um 1670 von Isaak Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz geschaffen. Die Analysis hat sich seither weit verzweigt. Sie wurde auf Funktionen komplexer Variablen (Funktionentheorie) und auf Funktionen, deren Argumente selbst wieder Funktionen sind (Funktionalanalysis)so genannte Funktionaleerweitert. Darüber hinaus findet sie Anwendung in der Geometrie (Differentialgeometrie) bzw. mit einem erweiterten Integralbegriff in der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Maßtheorie). Außerhalb der Mathematik wird die Analysis in allen Bereichen angewandt, in denen kontinuierliche Prozesse eine Rolle spielen, wobei sie vor allem engste Beziehungen zur Physik aufweist. Der Grundbegriff…


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