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Folge

Eine Folge ist eine Abbildung f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{M}. Man gibt sie häufig durch den Funktionsterm ( a_n = f(n) ist das n-te Folgenglied ) oder durch ein Bildungsgesetz (a_{n} ist die n-te Primzahl) an. Beispiele: a_n = n^2 , die Folge der Quadratzahlen  a_n = \left(-1\right)^{n} \frac{1}{n} . Zahlenfolgen (\mathbb{M}= \mathbb{R}) können einen ->Grenzwert besitzen, gegen den sie ->konvergieren.

Häufungspunkt

Ein Häufungspunkt einer ->Folge (oder einer Menge reeller Zahlen) ist eine Zahl, in deren unmittelbarer Umgebung beliebig viele Folgenglieder (Elemente der Menge) liegen. Der Häufungspunkt muss nicht Glied der Folge (Element der Menge) sein. Genauer: Eine Zahl a ist Häufungspunkt der Folge a_{n}, wenn es eine Teilfolge von a_{n} gibt, die gegen a konvergiert. Ein Punkt a ist Häufungspunkt einer Teilmenge M der Menge der reellen Zahlen, wenn es zu jedem \varepsilon > 0 ein Punkt b\in M gibt mit  b \neq a  und  |b - a| < \varepsilon.Eine Folge kann mehrere Häufungspunkte haben: Die Folge \left(-1\right)^{n}+ \frac{2}{n} hat die beiden Häufungspunkte…

Paradoxon von Zenon

Zenon (ca. 500 v.Chr) hat behauptet, dass im Wettlauf zwischen einer Schildkröte und dem griechischen Helden Achilles dieser die Schuldkröte nie einholen kann, wenn sie einen gewissen Vorsprung besitzt. In der Zeit, in der Achilles den Vorsprung der Schildkröte einholt, ist sie bereits ein Stück weiter gelaufen. Dies geht immer so weiter und deshalb kann Achilles die Schildkröte nie einholen. Lösung: Dieses Beispiel wird oft bei Folgen und Reihen und Grenzwerten angeführt, da die Zeitdifferenzen als Folge einen -> Grenzwert besitzen, also Achilles in endlicher Zeit die Schildkröte einholt.

Partialsumme

Gegeben sei eine Folge a_{k}. Dann heißt die Zahl s_{k}=\sum_{i=1}^{k}a_{i} die k-te Partialsumme der unendlichen Reihe \sum_{i=1}^{\infty }a_{i}. Die Reihe konvergiert (divergiert), falls die Folge s_{k} der Partialsummen konvergiert (divergiert).

unendliches Produkt

Ein unendliches Produkt besteht aus unendlich vielen Faktoren: \prod_{i=1}^{\infty }a_{i}=a_{1}\cdot a_{2}\cdot ... . Falls die Folge p_{n}=\prod_{i=1}^{n}a_{i} einen Grenzwert p besitzt, wird dieser das Produkt genannt. Beispiel: \prod_{i=1}^{\infty }\left ( 1-\frac{1}{(2i)^{2}} \right )=\frac{2}{\pi}

unendliche Reihe

Eine unendliche Reihe ist eine Reihe mit unendlich vielen Summanden: \sum_{i=1}^{\infty }a_{i}=a_{1}++a_{2}++... . Falls die Folge s_{n}=\sum_{i=1}^{n}a_{i} einen Grenzwert s besitzt, wird dieser die Summe der unendlichen Reihe genannt. Die Reihe heißt dann konvergent.

Reihe (unendliche)

Ist a_{n} eine Folge, so nennt man die Folge s_{n} der Partialsummen s_{n}=\sum_{m=1}^{n}a_{m} die zur Folge gehörende Reihe. Die Reihe heißt konvergent, falls die Folge s_{n} einen Grenzwert besitzt, andernfalls divergent. Beispiele: Die geometrische Reihe \sum_{m=1}^{\infty }\left ( \frac{1}{2} \right )^{m} konvergiert und hat den Grenzwert 1. Die harmonische Reihe \sum_{m=1}^{\infty } \frac{1}{m} divergiert.

Analysis

Unter Analysis versteht man das Studium reeller Funktionen mit Hilfe der Differenzial- und Integralrechnung. Die Grundlagen hierzu wurden um 1670 von Isaak Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz geschaffen. Die Analysis hat sich seither weit verzweigt. Sie wurde auf Funktionen komplexer Variablen (Funktionentheorie) und auf Funktionen, deren Argumente selbst wieder Funktionen sind (Funktionalanalysis)so genannte Funktionaleerweitert. Darüber hinaus findet sie Anwendung in der Geometrie (Differentialgeometrie) bzw. mit einem erweiterten Integralbegriff in der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Maßtheorie). Außerhalb der Mathematik wird die Analysis in allen Bereichen angewandt, in denen kontinuierliche Prozesse eine Rolle spielen, wobei sie vor allem engste Beziehungen zur Physik aufweist. Der Grundbegriff…


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