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Dreieck

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Beliebige Dreiecke

Beliebige Dreiecke sind Dreiecke mit drei unterschiedlichen Winkeln und drei unterschiedlich langen Seiten. Wenn drei dieser sechs verschiedenen Informationen vorliegen, kann man manchmal die drei fehlenden Seitenlängen/Winkel bestimmen und das Dreieck zeichnen. Man verwendet dazu die "Kongruenzsätze?. Die fehlenden Angaben eines Dreiecks können stets eindeutig bestimmt werden, wenn gegeben ist: sss, sws, wsw, Ssw, wobei S und s für Seite und w für Winkel steht und im letzten Fall der Winkel der größeren (S) der gegebenen Seiten (S und s) gegenüber liegt. Nicht eindeutig bestimmt ist ein Dreieck, falls nur die drei Winkel www gegeben sind.

Außenwinkel

Der Außenwinkel ist der Winkel, der einen Innenwinkel eines Dreiecks zu 180° ergänzt.

Dreieck

Ein Dreieck ist ein geometrisches Gebilde mit drei Seiten, drei Innenwinkeln und drei Eckpunkten: die Schnittpunkte je zweier Seiten. In einem ebenen Dreieck gilt stets: 1. Die Winkelsumme im Dreieck beträgt stets 180 Grad. 2. Die Summe zweier Seitenlängen ist größer als die Länge der dritten Seite (Dreiecksungleichung).

Dreiecksungleichung

In einem Dreieck mit den drei Seiten a, b und c gilt: Die Summe der Länge von zwei Seiten sind stets größer als die Länge der dritten Seite:a

gleichseitiges Dreieck

Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleichlange Seiten und jeweils drei gleiche Winkel von je 60 Grad. Aus Symmetriegründen sind die Winkelhalbierenden zugleich Seitenhalbierende und Höhen, d. h. der Höhenschnittpunkt, der Umkreismittelpunkt, der Schwerpunkt und der Inkreismittelpunkt fallen zusammen.

gleichschenkliges Dreieck

Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei gleichlange Seiten, die so genannten Schenkel. Ein gleichschenkliges Dreieck ist achsensymmetrisch und zwei der drei Winkel sind gleich groß.

Eulersche Gerade

Die Eulersche Gerade in einem beliebigen Dreieck  geht durch den Höhenschnittpunkt, den Schwerpunkt und den Umkreismittelpunkt. 

Höhenschnittpunkt

Die drei Höhen eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, dem Höhenschnittpunkt.

Kongruenzsätze

Es gibt vier Kongruenzsätze. Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie 1. in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen  (SWS); 2. in zwei Winkeln und einer Seite übereinstimmen (WSW oder WWS); 3. in den drei Seiten übereinstimmen (SSS);4. in zwei Seiten und dem der längeren Seite gegenüber liegenden Winkel (Gegenwinkel) übereinstimmen (SsW).

Platonische Körper

Es gibt fünf platonische Körper: Tetraeder (4 gleichseitige Dreiecke), Hexaeder (6 gleichseitige Vierecke), Oktaeder (8 gleichseitige Dreiecke), Dodekaeder (12 regelmäßige Fünfecke) und Ikosaeder (20 gleichseitige Dreiecke).

Sehnenformel

In einem beliebigen Dreieck sei r der Umkreisradius des Dreiecks. Dann gilt für die Sehnenlängen a, b und c: a=2r\sin \alpha; b=2r\sin \beta und c=2r\sin \gamma.

Schwerpunkt

Der Schwerpunkt eines Dreieck ist der Schnittpunkt der ->Seitenhalbierenden. Der Schwerpunkt von zwei Punkten ist der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke der beiden Punkte. Der Schwerpunkt von n Punkten, gegeben durch die Ortsvektoren \overrightarrow{r_{k}}, ist gegeben durch den ->Ortsvektor \vec{r}=\frac{\overrightarrow{r_{1}}++\overrightarrow{r_{2}}++...++\overrightarrow{r_{n}}}{n}

sphärische Geometrie

Die sphärische Geometrie befasst sich mit der Geometrie auf einer Kugel, ursprünglich mit der Geometrie der Erde. Hier gelten die Gesetzte der ebenen (euklidischen) Geometrie nicht mehr. So kann die Winkelsumme im sphärischen Dreieck auch größer als 180 Grad sein.

Tetraeder

Ein Vierflach bestehend aus vier gleichseitigen Dreiecken. Einer der ->platonischen Körper.

Umkreis eines Dreiecks

Jedes Dreieck besitzt genau einen Umkreis, der durch die drei Ecken des Dreiecks geht. Die drei Mittelsenkrechten schneiden sich im Mittelpunkt M des Umkreises. Dieser hat von allen Ecken den gleichen Abstand.

Trigonometrie

Die Lehre der Berechnung ebener Dreiecke mit Hilfe von Sinus, Cosinus und Tangens (siehe auch ->sphärische Trigonometrie).

Thaleskreis

Die Seite AB eines Dreiecks ABC sei Durchmesser eines Kreises r. Wenn C auf dem Kreisbogen liegt, dann hat der Dreieckswinkel bei C (\alpha ++\beta ) den Wert 90 Grad.

Winkelsumme im Vieleck

Die Winkelsumme im Vieleck mit n Eckpunkten beträgt (n-2)\cdot 180 Grad. Man zeigt das durch Zerlegung des Vielecks in Dreiecke. Zum Beispiel wird ein Viereck durch jede der Diagonalen in zwei Dreiecke geteilt.

Basislinie

Im rechtwinkligen Dreieck versteht man unter der Basislinie die Hypotenuse, in einem allgemeinen Dreieck wird oft die längste Seite als Basislinie bezeichnet.

Flächeninhalt (Dreieck)

Der Flächeninhalt eines Dreiecks mit der Grundseite der Länge g und der Höhe h ist:A=g \cdot \frac h2

Feuerbachkreis

Der Kreis durch die drei Seitenmitten eines Dreiecks heißt Feuerbachkreis des Dreiecks. Auf ihm liegen auch die Lotfußpunkte und die drei Mittelpunkte zwischen den Ecken und dem Höhenschnittpunkt. Der Mittelpunkt des Feuerbachkreises liegt auf der Eulergeraden und ist die Mitte der Verbindung von Höhenschnittpunkt und Mittelsenkrechtenschnittpunkt (Mittelpunkt des Umkreises).

Höhe (Dreieck)

Höhe in einem Dreieck ist das Lot von einem Eckpunkt auf die gegenüber liegende Dreiecksseite (oder deren Verlängerung). Auch die Länge dieser Strecke wird als Höhe bezeichnet.

Gegenkathete

Im rechtwinkligen Dreieck bezeichnet man die beiden Seiten, die den rechten Winkel (90°) einschließen, als Katheten. Dem rechten Winkel liegt die Hypotenuse gegenüber, der anderen beiden Winkeln jeweils ihre Gegenkathete.

rechtwinkliges Dreieck

Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt einen Winkel von 90 Grad, einen "rechten" Winkel. Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite heißt Hypotenuse, die beiden anderen Seiten heißen Katheten.Im rechtwinkligen Dreieck gilt der "Satz des Pythagoras": Das Quadrat über der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate über den beiden Katheten, in Buchstaben: a^{2}+b^{2}=c^{2}, falls a und b die Seitenlängen der Katheten und c die Seitenlänge der Hypotenuse sind.Im rechtwinkligen Dreieck  werden bestimmte Verhältniszahlen der Seitenlängen mit Namen versehen. Diese heißen für einen Innenwinkel \alpha, der kein rechter Winkel ist, Sinus (\sin (\alpha)), Cosinus (\cos (\alpha)), Tangens (tan (\alpha)) und Cotangens (\cot (\alpha))…

Dreiecke, Vierecke und Prismen

Lerninhalte Die Eigenschaften von Vierecken (Quadrat, Rechteck, Parallelogramm, Raute, Drachen und Trapez) Berechnen von Umfang und Flächeninhalt Die Eigenschaften von Prismen Berechnen von Oberfläche und Volumen von Prismen Schritt für Schritt zur Abstraktion Bei der Einführung der Formeln zur Berechnung abstrakter Formen, geht bettermarks ganz behutsam vor. Zunächst ist die Formel vorgegeben. Die abgebildeten Werte müssen an der richtigen Stelle eingesetzt werden. Sobald bettermarks erkennt, dass die Vorgehensweise verstanden wurde, muss die Formel selbstständig notiert werden. Willkommen in der dritten Dimension Durch die selbstständige Vervollständigung dreidimensionaler Figuren aus verschiedenen Perspektiven werden die Regeln für die dritte Dimension besser verinnerlicht. Anleitung…

Dreiecke und Kongruenzsätze

Lerninhalte Eigenschaften von Dreiecken benennen Der Satz des Thales Dreiecke mit Hilfe der Kongruenzsätze sss, sws, wsw und Ssw konstruieren Übungen zu besonderen Linien im Dreieck (Transversalen) wie Höhe, Mittelsenkrechte der Seiten, Seitenhalbierende und Winkelhalbierende Zusammenhänge erkennen Mit Hilfe der zuvor in einer Textaufgabe gelesenen Informationen müssen Teile einer Planfigur zu einem vollständigen Bild sortiert werden. So wird die Fähigkeit gefördert, Zusammenhänge aus der Umwelt zu erkennen. L ck nt x t   Mit Lückentexten wird an die Anleitung zu Dreieckskonstruktionen herangeführt. Selbst bauen Der Geometrie-Raster bietet dem Schüler die Möglichkeit alle Dreieckskonstruktionen sowie alle anderen Grundkonstruktionen interaktiv durchzuführen.


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