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Bruch

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Bruch

Ein Bruch besteht aus Zähler, Bruchstrich und Nenner. Der Zähler steht oberhalb, der Nenner unterhalb des Bruchstrichs. Brüche verwendet man immer dann, wenn man Anteile eines Ganzen beschreiben will.Der Zähler gibt an wie viele gleich große Teile von einem Ganzen ausgewählt werden sollen. Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze zerlegt werden soll. Verschiedene Brüche können dabei den gleichen Anteil an einem Ganzen darstellen:  \frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{6}{12} Sie sind dann äquivalent.

Brüche multiplizieren

Beim Multiplizieren von Brüchen rechnest du Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.

Bruch (unechter)

Unter einem unechten Bruch versteht man einen Bruch, in dem der Zähler größer ist als der Nenner. Beispiel: \frac 7 2.Ein unechter Bruch ist stets größer als 1. Man kann einen unechten Bruch in eine gemischte Zahl bestehend aus einer ganze Zahl und einem Bruch umwandeln \frac 7 2 = 3 \frac 1 2 .

Bruchteil

Ein "Bruchteil" von einem Ganzen kann in Form eines Bruches angegeben werden. Ein Halbes: \frac{1}{2} , ein Drittel: \frac{1}{3} , drei Viertel: \frac{3}{4} usw.

Brüche addieren

Beim Addieren von Brüchen musst du die Nenner der zu addierenden Brüche auf einen gemeinsamen Nenner (in der Regel auf  den ->Hauptnenner) bringen. Erst dann kannst du die Zähler addieren. ->Gleichnamige Brüche können direkt addiert werden.

Brüche dividieren

Ein Bruch wird durch einen zweiten dividiert, indem du den ersten mit dem ->Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizierst.

Brüche subtrahieren

Beim Subtrahieren von Brüchen musst du die Nenner des Minuenden und den des Subtrahenden auf einen gemeinsamen Nenner bringen (in der Regel auf den ->Hauptnenner). Erst dann kannst du die Zähler subtrahieren. ->Gleichnamige Brüche können direkt subtrahiert werden.

echter Bruch

Ein "echter Bruch" ist ein Bruch, der sich nicht in eine gemischte Zahl umwandeln lässt. Der Zähler ist immer kleiner als der Nenner. Ein echter Bruch beschreibt einen Anteil eines Ganzen.

Erweiterungszahl

Die Erweiterungszahl ist diejenige Zahl, mit der Zähler und Nenner eines Bruchs beim Erweitern multipliziert werden.

Erweitern

Ein Bruch wird "erweitert?, indem man seinen Zähler und seinen Nenner mit der gleichen Zahl (ungleich 0) multipliziert. Durch Erweitern oder Kürzen ineinander überführte Brüche sind äquivalent, d.h. sie stellen dieselbe Zahl dar.

Doppelbruch

Ein Bruch wird durch einen zweiten Bruch dividiert, indem man ihn mit dessen Kehrwert multipliziert. Beispiele: \frac{ \frac{3}{7} }{ \frac{4}{11} } = \frac{3}{7} \cdot \frac{11}{4} = \frac{3 \cdot 11}{7 \cdot 4} = \frac{33}{28}   ; allgemein: \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}

Gemischte Zahl

Eine gemischte Zahl setzt sich aus einer ganzen Zahl und einem Bruch zusammen.Beispiel:8 \frac 23

Ganze

Die Ganzen sind die natürlichen Zahlen bei gemischten Brüchen.Beispiele:Bei  1 \cdot \frac{1}{2}   und  5 \cdot \frac{3}{4}   sind 1 und 5 die Ganzen.

gleichnamig

Brüche heißen gleichnamig, wenn sie den gleichen Nenner haben, also "nennergleich" sind.

Hauptnenner

Der Hauptnenner ist der kleinste gemeinsame Nenner von zwei oder mehreren Brüchen. Du erhältst ihn, indem du das ->kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner bestimmst. Der Hauptnenner wird genutzt, um ungleichnamige Brüche gleichnamig zu machen und dann addieren oder subtrahieren zu können.

Kürzen über Kreuz

Wenn du zwei Brüche miteinander multiplizieren möchtest, darfst du zwischen den Brüchen kürzen.

Multiplikation von Brüchen

siehe ->Brüche multiplizieren. Bei der Multiplikation mehrerer Brüchen können alle Brüche direkt auf einem großen Bruchstrich zusammengefasst werden (oberhalb stehen alle Zähler, unterhalb alle Nenner). Anschließend darfst du die Zähler mit den Nennern über Kreuz kürzen.

Nenner

Der "Nenner" ist die natürliche Zahl unterhalb des Bruchstriches. Er gibt an, in wie viele gleich große Teile ein Ganzes zerlegt wird.

Rationale Zahl

Alle Zahlen, die sich als Quotient einer ganzen Zahl und einer ganzen Zahl ungleich Null darstellen lassen. Zur Menge der rationalen Zahlen gehören die natürlichen Zahlen, die ganzen Zahlen, die Brüche und deren Gegenzahlen.

regelmäßiger Kettenbruch

Ein regelmäßiger Kettenbruch hat die Form a_{0}++\frac{1}{a_{1}++\frac{1}{a_{2}++\frac{1}{a_{3}++...}}} a_{0} : ganze Zahl, a_{i} : positive ganze Zahlen. Ein regelmäßiger Kettenbruch ist stets konvergent. Jede reelle Zahl ist genau auf eine Weise als regelmäßiger Kettenbruch darstellbar.

Stammbruch

Ein Stammbruch ist ein Bruch mit dem Zähler 1: \frac{1}{2},\frac{1}{3},...,\frac{1}{n}

Verhältnisgleichung

Dies ist eine Bruchgleichung der Form \frac{a}{b}=\frac{c}{d},b\neq 0,d\neq 0. Man sagt auch: „a verhält sich zu b wie c zu d“.

Zahlenstrahl

Der Zahlenstrahl dient zur Veranschaulichung positiver Zahlen, vornehmlich natürlicher Zahlen oder positiver Brüche.

Zähler

Der “Zähler“ ist die Zahl oberhalb des Bruchstriches. Er gibt an, wie viele gleich große Teile von einem Ganzen genommen werden sollen.

Bruchterm

Ein Bruchterm ist ein Quotient, in dem im Nenner mindestens eine Variable (meist x) vorkommt. Beispiel:\frac{x+3}{2x^{2}-8} Bei der Auswertung von Bruchtermen sind die Werte der Variablen ausgeschlossen, für die der Nenner null wird.2x^{2}-8=0 oder x^{2}-4=0 oder x^{2}=4 oder x=\pm 2Definitionsbereich: \mathbb{R}\setminus \left \{ -2;+2 \right \} \wedge ,\vee

Bruchgleichung

Unter einer Bruchgleichung versteht man in der Schulmathematik eine Bestimmungsgleichung, die mindestens eine Unbekannte im Nenner erhält.Beispiel: \frac{x-4}{3x-4}-\frac{4x^{2}}{12x^{2}-16x}=41. Definitionsbereich: Da der Nenner nie Null sein kann, muss der Definitionsbereich für die Werte eingeschränkt werden, für die der Nenner nicht null wird.Im Beispiel gilt: 3x - 4 = 0 falls x = \frac 4 3 und 12x^2 - 16x = 4x(3x - 4) = 0, falls x = \frac 4 3 oder x=0. Damit ist der maximale Definitionsbereich  \mathbb{R}\setminus \left \{ 0;\frac{4}{3} \right \}.2. Hauptnenner ist im Beispiel 12x^2 - 16x.3. Umformung:\frac{x-4}{3x-4}-\frac{4x^{2}}{12x^{2}-16x}=4 oder \frac{4x^{2}-16x-4x^{2}}{12x^{2}-16x}=4 oder -16x = 48x^{2}-64x 48x^{2}}-48x=0 48x(x -…

Kürzen

Haben Zähler und Nenner eines Bruchs einen gemeinsamen Teiler, so kannst du beide durch diesen Teiler dividieren (Kürzen). Durch das Kürzen bleibt der vom Bruch beschriebene Anteil unverändert, das betrachtete Ganze wird nur in weniger Teile geteilt, die Einteilung wird gröber. Um soweit wie möglich zu kürzen, musst du den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von Zähler und Nenner des Bruchs finden. Der ggT ist die größte Zahl, mit der du den Bruch kürzen kannst.


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