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Analytische Geometrie

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analytische Geometrie

Die analytische Geometrie löst geometrische Probleme (z.B. Schnitt von Geraden oder Ebenen oder allgemeineren Kurven und Flächen) mit den Mitteln der Analysis. Dazu werden die geometrischen Kurven mit Hilfe von Koordinaten und algebraischen Gleichungen dargestellt: Ein Punkt (x\mid y) gehört zu einer ebenen Kurve, wenn die Koordinaten x und y die algebraische Gleichung erfüllen.  Beispiele:Gegeben sind die beiden Geradengleichungen  x + 2y = 4  und  2x - y = -2 , gesucht ist der Schnittpunkt der Geraden.Gegeben ist die Geradengleichung  x + y = 1  und die Kreisgleichung  x^{2}+y^{2}=4 , gesucht sind die Schnittpunkte.

Vektorraum

Der Vektorraum ist ein zentraler Begriff der analytischen Geometrie. Eine kommutative Gruppe (V,+) heißt Vektorraum, wenn auf ihr eine (skalare) Multiplikation mit reellen Zahlen u, v so definiert ist, dass gilt: 1. Die Skalarmultiplikation ist assoziativ: u\cdot (v\cdot \vec{a})=(u\cdot v)\cdot \vec{a} 2. Es gelten die beiden Distributivgesetze: (u + +v)\cdot \vec{a}=u\cdot \vec{a}++v\cdot \vec{a} und     u\cdot (\vec{a}++\vec{b})=u\cdot \vec{a}++u\cdot \vec{b} 3. Es gilt: 1\cdot \vec{a}=\vec{a} Die Elemente des Vektorraumes nennt man Vektoren.

Descartes, René

Name: René Descartes Geboren: 1596 in La Haye (Frankreich) Gestorben: 1650 in Stockholm Lehr-/Forschungsgebiete: Analytische Geometrie, Differentialrechnung, Algebra, Optik René Descartes war ein französischer Philosoph, Mathematiker und Naturwissenschaftler. Als Begründer des neuzeitlichen Rationalismus spielte Descartes eine wichtige Rolle in der wissenschaftlichen Revolution des 17. Jahrhunderts. In der Mathematik ist er als Pionier der analytischen Geometrie bekannt geworden. Nach ihm sind das kartesische Koordinatensystem, das kartesische Produkt und die Vorzeichenregel von Descartes benannt. Leben René Descartes du Perron wurde 1596 als Sohn einer adeligen Familie im französischen La Haye geboren. Am Jesuitenkolleg von La Flèche erhielt er eine mathematische und klassische…

Fermat, Pierre de

Name: Pierre de Fermat Geboren: vermutlich 1607 in Beaumont-de-Lomagne (Frankreich) Gestorben: 1655 in Castres (Frankreich) Lehr-/Forschungsgebiete: Infinitesimalrechnung, Zahlentheorie, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Analytische Geometrie, Optik Pierre de Fermat war ein französischer Mathematiker und Jurist des 19. Jahrhunderts. Sein Name verbindet sich mit zahlreichen Resultaten aus verschiedenen Bereichen der Mathematik. Am berühmtesten davon ist der große fermatsche Satz, der besagt, dass die diophantische Gleichung x^n + y^n = z^n mit x, y, z in mathbb{Z} und xyz 0 fu?r keine natu?rliche Zahl n > 2 erfu?llt ist. Leben Pierre de Fermat wurde Anfang des 17. Jahrhunderts im südfranzösischen Beaumont-de-Lomagne geboren. Als sein Geburtsjahr wurde…

Analytische Geometrie

Die analytische Geometrie wurde um 1630 von Pierre de Fermat und René Descartes begründet. Sie erlaubt es geometrische Fragen mit algebraischen Mitteln zu behandeln und zu beantworten. Mit Hilfe eines zwei- oder drei-dimensionalen Koordinatensystems werden geometrische Objekte (Punkte, Geraden, Flächen, Körper) und deren Beziehungen untereinander in algebraische Ausdrücke der zugehörigen (Koordinaten-)Werte übersetzt, die dann umgeformt werden können. Die Ergebnisse können schließlich wieder in die geometrische Sprache zurückübersetzt werden. Hierzu gehört vor allem die Diskussion ebener Kurven. Mitte des 19. Jahrhunderts entstand er Begriff des Vektors, eine geometrische Größe, die eine Länge und eine Richtung besitzt. Die Darstellung von Vektoren als…


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