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Geometrie (Mathematik)

Unter Geometrie (griechisch: Erdmessung) versteht man zunächst die klassische oder euklidische Geometrie (auch Elementargeometrie), die in den "Elementen" von Euklid ausführlich dargelegt wird. Aus mehr oder weniger einsichtigen Definitionen und Grundsätzen (den Postulaten) werden die geometrischen Sätze über Dreiecke und Kreise durch logische Schlüsse auf der Grundlage von Axiomen hergeleitet. Euklid beginnt mit der Definition des Punktes (?Ein Punkt ist, was keine Teile hat.?) und schließt daran Definitionen für Linie, Strecke und Fläche sowie fünf Postulate an, wobei er fordert

  • dass man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann,
  • dass man eine begrenzte gerade Linie zusammenhängend gerade verlängern kann,
  • dass man mit jedem Mittelpunkt und Anstand den Kreis zeichnen kann,
  • dass alle rechten Winkel einander gleich sind.

Das fünfte Postulat, das Parallelenpostulat, wird heute so ausgesprochen, dass man zu jeder Geraden g und jedem Punkt P, der nicht auf g liegt, eine Gerade h zeichnen kann, die P enthält und g in keinem Punkt schneidet.

Im Lauf der Zeit hat sich herausgestellt, dass das euklidische Axiomensystem nicht lückenlos ist. Erst David Hilbert ist es 1899 in seinem Buch über die "Grundlagen der Geometrie" gelungen ein vollständiges Axiomensystem aufzustellen. Dabei baut er auf der Algebraisierung der euklidischen Geometrie mittels Koordinaten sowie der axiomatischen Beschreibung der reellen Zahlen auf.

Das Parallelenpostulat spielt eine besondere Rolle. Bis ins 19. Jahrhundert hat man vergeblich versucht, es aus den anderen Postulaten herzuleiten. Dann haben unabhängig voneinander Gauß, Janos Bolyai und Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski eine nichteuklidische Geometrie gefunden, die alle Postulate der euklidischen Geometrie bis auf das Parallelenpostulat erfüllt.

Heute unterscheidet man, je nach dem zu Grunde liegenden Axiomensystem, unterschiedliche Geometrien:

  • euklidische Geometrie
  • nichteuklidische Geometrie, wobei es in der hyperbolischen Geometrie zu jeder Geraden mehrere Parallelen geben kann und in der elliptischen Geometrie keine Parallele gibt
  • projektive Geometrie und die affine Geometrie, die ohne Abstands- und Winkelbegriff auskommen
  • absolute Geometrie, die die Gemeinsamkeiten der euklidischen und nichteuklidischen Geometrie zusammenfasst.

Man kann die verschiedenen Geometrien auch auf Grund der in ihnen jeweils möglichen Transformationen unterscheiden, die eine geometrische Figur nicht verändernin der euklidischen Geometrie sind dies die Kongruenzabbildungen. Dieser Standpunkt wird von Felix Christian Klein (1872) in seinem "Erlangener Programm" vertreten: verschiedene Geometrien entsprechen verschiedenen Transformationsgruppen.

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