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Mathe Glossar

Weißt du was ein Abakus oder ein stumpfer Winkel ist? Oder was der Satz des Pythagoras aussagt? Das bettermarks Mathe Glossar stellt Euch mathematische Definitionen und Erklärungen für viele wichtige mathematische Begriffe bereit.

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Assoziativgesetz

Sowohl die Addition als auch die Multiplikation von Zahlen erfüllen das Assoziativgesetz: Für beliebige Zahlen n, m und k gilt \left(n+m\right)+k=n+\left(m+k\right)und \left(n \cdot m\right) \cdot k=n \cdot \left(m \cdot k\right). Allgemeiner ist das Assoziativgesetz für die Verknüpfung einer ->Gruppe (oder auch nur ->Halbgruppe) gültig.

Asymptote

Eine Gerade, die sich einem gegebenen Graphen einer Funktion f beliebig dicht nähert, ohne diesen zu berühren oder zu schneiden. Die Annäherung kann in y-Richtung (Annäherung an eine vertikale Gerade) oder x-Richtung (Annäherung an eine Gerade  y=ax+b ) stattfinden.Beispiel: Bei der Hyperbel y= \frac{1}{x} sind die Geraden y = 0 (x-Achse) und x = 0 (die y-Achse) Asymptoten.

Atto (Vorsilbe)

Atto bedeutet ein Trillionstel. Ein Atto (Schreibweise a) ist 10^{-18}. Ein Ganzes = 1 000 000 000 000 000 000 Atto.

Aufriss

Der Aufriss ist Bild eines Körpers durch Parallelprojektion auf eine vertikale Ebene.

Ausklammern

Die Anwendung des Distributivgesetzes: a \cdot b+a \cdot c=a \cdot \left(b+c\right) Beispiele: 4a+6b=2\cdot (2a+3b) " hier wird 2 ausgeklammert; 4a^{2}+6a=2a\cdot (2a+3) " hier wird 2a ausgeklammert.Kann man in einer Summe jeden Summanden so in ein Produkt von Faktoren zerlegen, dass ein Faktor in jedem Summanden vorkommt, so kann man diesen Faktor ausklammern.

Ausmultiplizieren

Die Anwendung des Distributivgesetzes: a \cdot \left(b+c\right)=a \cdot b+a \cdot c Beispiele:   5\cdot (2a+3b)=10a+15b7a\cdot (3b+6c)=21ab+42ac  

Aussage

Unter einer Aussage versteht die zweiwertige Aussagenlogik, ein sprachliches Gebilde, von dem man eindeutig sagen kann, ob es wahr (w) oder falsch (f) ist: ein Drittes gibt es nicht (->tertium non datur). Der Satz: ?5 < 3? ist eineallerdings falscheAussage. Der Satz "Morgen ist schönes Wetter" ist keine Aussage, da man nicht eindeutig sagen kann, ob diese Aussage wahr oder falsch ist.In der dreiwertigen Logik gibt es auch einen Zwischenwert.

Außenradius

Der Außenradius eines Kreisrings ist der größereäußereRadius vom Mittelpunkt zum äußeren Ring.

Außenwinkel

Der Außenwinkel ist der Winkel, der einen Innenwinkel eines Dreiecks zu 180° ergänzt.

Axiom

Axiome sind nicht beweisbare Aussagen, aus denen weitere Aussagen durch logisches Schließen abgeleitet werden können.Beispiel:Die ->Peano-Axiome, die die natürlichen Zahlen charakterisieren.

Banach, Stefan

Name: Stefan Banach Geboren: 1892 in Krakau (Polen) Gestorben: 1945 in Lemberg (Ukraine) Lehr-/Forschungsgebiete: Funktionalanalysis, Mengenlehre, Maßtheorie, Theorie der Reihen und Folgen Stefan Banach war ein polnischer Mathematiker, der von 1892 bis 1945 lebte. Er war einer der Begründer der modernen Funktionalanalysis und der Lemberger Mathematikschule. Zu seinen bekanntesten Ergebnissen zählen die Einführung der Banachräume, der Satz von Hahn-Banach, der Satz von Banach-Steinhaus und das Banach-Tarski-Paradoxon. Leben Stefan Banach wurde 1892 in Krakau geboren, das damals zu Österreich-Ungarn gehörte. Er wuchs bei seiner Großmutter und bei Pflegeeltern auf. In der Schule zeigte er außerordentliche Begabungen. Er lernte mehrere Fremdsprachen und…

Basis (einer Potenz)

Bei einer ->Potenz a^b = a\cdot a \cdot ... a \cdot a ( b -mal die Zahl a als Faktor) bezeichnet man die Zahl a als Basis und die Zahl b als Exponenten. Dies wird auch auf allgemeinere Potenzen übertragen, bei denen a und b keine ganzen Zahlen mehr sind.

Basislinie

Im rechtwinkligen Dreieck versteht man unter der Basislinie die Hypotenuse, in einem allgemeinen Dreieck wird oft die längste Seite als Basislinie bezeichnet.

Bayes'sche Regel

Die Bayesche Regel wird in der Stochastik verwendet, wenn man bestimmte Einzelwahrscheinlichkeiten kennt und daraus eine totale Wahrscheinlichkeit berechnen will. Sind A und B Ereignisse mit P(A)> 0 und P(\bar{A})> 0, so gilt:P_{B}(A)=\frac{P(A)}{P(A)\cdot P_{A}(B)+P(\bar{A})\cdot P_{\bar{A}}(B)}\cdot P_{A}(B)Beispiel: 0,1 % der Bevölkerung sind TB-krank; Ein medizinischer Test für TBC-Erkennung zeigt in 95% aller positiven Fälle eine vorliegende Erkrankung an; bei Gesunden zeigt der Test in 4 % aller Fälle irrtümlich eine Erkrankung an. Eine Person reagiert auf den Test positiv. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat sie auch tatsächlich TBC" A bedeutet:  ?die Person ist TBC-krank?; B bedeutet: "der Test ist positiv?. Gefragt ist nach…

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Sind A, B beliebige Ereignisse mit P\left(A\right)>0, so bezeichnet P_{A}\left(B\right) die Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A. Es gilt: P_{A}\left(B\right)= \frac{P\left(A \cap B\right)}{P\left(A\right)} Man muss streng zwischen P\left(A \cap B\right) und P_{A}\left(B\right) unterscheiden: es sind unterschiedliche Bezugsmengen.Während sich P\left(A \cap B\right) auf die Gesamtheit  \Omega bezieht, so ist bei P_{A}\left(B\right) die Bezugsmenge \AA.

Behauptung

In der Aussage der Form "Wenn A dann B" nennt man A die Voraussetzung und B die Behauptung (Konklusion).

Beliebige Dreiecke

Beliebige Dreiecke sind Dreiecke mit drei unterschiedlichen Winkeln und drei unterschiedlich langen Seiten. Wenn drei dieser sechs verschiedenen Informationen vorliegen, kann man manchmal die drei fehlenden Seitenlängen/Winkel bestimmen und das Dreieck zeichnen. Man verwendet dazu die "Kongruenzsätze?. Die fehlenden Angaben eines Dreiecks können stets eindeutig bestimmt werden, wenn gegeben ist: sss, sws, wsw, Ssw, wobei S und s für Seite und w für Winkel steht und im letzten Fall der Winkel der größeren (S) der gegebenen Seiten (S und s) gegenüber liegt. Nicht eindeutig bestimmt ist ein Dreieck, falls nur die drei Winkel www gegeben sind.

Bernoulli-Ungleichung

Die Bernoulli-Ungleichung nach dem Mathematiker Jakob I. Bernoulli lautet: (1+x)^{n}\geq 1+nx für alle natürlichen Zahlen n und alle reellen x>-1.Der Beweis erfolgt durch ->vollständige Induktion. Man verwendet sie etwa zum Beweis der Konvergenz der Folge \left(1^{}+ \frac{1}{n} \right)^{n}.

Bernoulli, Jakob I.

Name: Jakob I. Bernoulli Geboren: 1654 in Basel Gestorben: 1705 in Basel Lehr-/Forschungsgebiete: Infinitesimalrechnung, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Variationsrechnung Jakob Bernoulli war ein Schweizer Mathematiker des 17. Jahrhunderts. Er und sein Bruder Johann begründeten den Ruf der Familie Bernoulli als Mathematiker-Familie. Seine wichtigsten Beiträge zur Mathematik machte er auf den Gebieten der Infinitesimalrechnung und der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Nach ihm benannt sind unter anderem die Bernoulli-Zahlen, die Bernoulli-Verteilung, die Bernoullische Ungleichung und der Bernoulli-Prozess. Jakob Bernoulli bewies das Gesetz der großen Zahlen. Leben Jakob Bernoulli wurde 1654 in Basel geboren. Auf Wunsch seines Vaters studierte er Theologie und Philosophie an der Universität Basel. Aus eigenem…

Bernoulli, Johann

  Name: Johann Bernoulli Geboren: 1667 in Basel Gestorben: 1748 in Basel Lehr-/Forschungsgebiete: Analysis, Infinitesimalrechnung, Variationsrechnung, Physik Johann Bernoulli war ein Schweizer Mathematiker, der von 1667 bis 1748 lebte. Seine bedeutendsten wissenschaftlichen Beiträge lieferte er zur Integralrechnung und Analysis sowie zur Hydraulik. Er war der Bruder des Mathematikers Jakob Bernoulli und Vater von Daniel, Nikolaus und Johann II. Bernoulli. Außerdem war er Lehrer berühmter Mathematiker wie Leonhard Euler und Guillaume de L'Hôpital. Die nach L'Hôpital benannte Regel zur Grenzwertberechnung von Funktionen mittels Ableitung ist eine Entdeckung Johann Bernoullis. Leben Johann Bernoulli wurde 1667 als zehntes Kind des Kaufmanns Nikolaus Bernoulli…

Berührpunkt (Berührungspunkt)

In der ebenen Geometrie versteht man unter Berührpunkt zweier Kurven einen gemeinsamen Punkt, in dem die beiden Kurven dieselbe Tangente besitzen.

beschränkte Folge

Eine Folge a_{n} heißt nach oben beschränkt, wenn es eine feste Zahl c gibt, so dass für alle Werte der Folge gilt: a_{n} \le c. In diesem Fall ist c die obere Schranke.Gilt stets a_{n} \ge c für eine feste Zahl, so ist sie nach unten beschränkt und c heißt unter Schranke. Eine nach oben und unten beschränkte Folge ist beschränkt.

bestimmtes Integral

Unter einem bestimmen Integral versteht man einen Ausdruck der Form: \int_{a}^{b}f\left(x\right)\,dx.Für eine auf dem Intervall positive Funktion gibt das bestimmte Integral den Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse an.Ist F die Stammfunktion von f, d.h. F differenzierbar mit F'(x)=f(x) , so gilt der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung \int_{a}^{b}f\left(x\right)\,dx=F\left(b\right)-F\left(a\right).

Betrag

Der Betrag \left|a\right| einer reellen Zahl a ist definiert als \left | a \right |=a für a \ge 0 und als \left|a\right|=-a für a

Bewegung

Eine Bewegung ist eine Kongruenzabbildung: Bild und Ausgangsfigur sind deckungsgleich oder kongruent. Die Figur ist dann nur verschoben oder verdreht oder gespiegelt.

Beweis

Neue Sätze werden in der Mathematik auf der Grundlage bereits bekannter Sätze, vorhandener Axiome und logischen Schlussregeln hergeleitet. Eine solche Herleitung nennt man Beweis.

Bhaskara I.

  Name: Bhaskara I. Geboren: um 600 in Saurashtra (Indien) Gestorben: um 680 in Ashmaka (Indien) Lehr-/Forschungsgebiete: Astronomie, Arithmetik, Trigonometrie Bhaskara I. war ein indischer Mathematiker und Astronom des 7. Jahrhunderts nach Christus. Er gilt als Wegbereiter des heutigen Zahlensystems, indem er als erster mit Ziffern in einem Stellenwertsystem zur Basis 10 rechnete. Leben Bhaskara I. wurde um 600 nach Christus in der Region Saurashtra im Nordwesten des heutigen Indiens geboren. Bhaskara I. wird er genannt, um ihn von einem späteren Namensvetter, Bhaskara II., der ebenfalls Mathematiker war, abzugrenzen. Über das Leben Bhaskaras I. ist wenig bekannt. Er studierte und…

Bhaskara II.

Name: Bhaskara II. Geboren: 1114 nahe Bijapur (Südindien) Gestorben: um 1185 (genauer Ort unbekannt) Lehr-/Forschungsgebiete: Zahlentheorie, Algebra, Trigonometrie, Geometrie, Astronomie Bhaskara II. war ein indischer Mathematiker und Astronom des 12. Jahrhunderts. Zu seinen zahlreichen Beiträgen zur Mathematik zählen Regeln für das Rechnen mit negativen Zahlen und der Null sowie eine frühe Form der Infinitesimalrechnung. Leben Bhaskara II. wurde 1114 nahe der Stadt Bijapur im heutigen indischen Bundesstaat Karnataka geboren. Bhaskara II. wird er genannt, um ihn von einem früher lebenden Namensvetter   Bhaskara zu unterscheiden, der ebenfalls Mathematiker war. In Indien ist Bhaskara  II. als „Bhaskaracharya“ (deutsch etwa „Bhaskara der Lehrer“)…

bijektiv

Eine ->Abbildung heißt bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. Eine bijektive Abbildung lässt sich umkehren.

Bijunktion

Aussagenlogischer Begriff entspricht dem "genau dann,  wenn?. Die zugehörige Wahrheitstafel lautet:A      B     A\leftrightarrow BWWWWFFFWFFFWDiese Aussage ist nur dann wahr, wenn A und B wahr sind oder wenn A und B falsch sind.

Billiarde

 1 Billarde = %20%5C%201\,000\,000\,000\,000\,000%20=10%5E%7B15%7D

Billion

1 Billion = %20%5C%20%201\,000\,000\,000\,000%20=10%5E%7B12%7D

Binärsystem (Dualsystem)

Ein ->Stellenwertsystem zur Darstellung von Zahlen aus zwei Zeichen, wofür in der Mathematik meist  0 und 1 gewählt werden. Dient als Grundlage der elektronischen Datenverarbeitung (EDV) und wird realisiert durch die Zustände "Es fließt Strom" und "Es fließt kein Strom?.dezimaldual     1121031141005101611071118100091001101010

Binärzahlen addieren

Der Addition 5+4=9 im Dezimalsystem entspricht im Dualsystem die Addition 101+100=1001. Sie beruht auf:0+0=0 , 0+1=1=1+0 und 1+1=10 .

Binärzahlen multiplizieren

Die Multiplikation im Dualsystem funktioniert genauso wie im Dezimalsystem. Man schreibt die beiden Faktoren nebeneinander und multipliziert ?von links nach rechts? die einzelnen Ziffern des linken Faktors mit allen Ziffern des rechten Faktors unter Beachtung von 0 \cdot 0=0 , 0 \cdot 1=0=1 \cdot 0 und 1 \cdot 1=1 . Anschließend addiert man die Zahlen.Beispiel: Es soll 13 \cdot 9 gerechnet werden:13 entspricht 11019 entspricht 10011101·1001       1101     0000   0000 1101 1110101 entspricht dezimal 117 

Binärzahlen subtrahieren

Die Subtraktion erfolgt nach denselben Regeln wie im Dezimalsystem. Beispiel:28 - 12 = 16 dezimal wird wie folgt gerechnet:11100 - 1100 = 10000 .

Binomialkoeffizient

Die Binomialkoeffizienten ergeben in der Kombinatorik die Anzahl der Möglichkeiten, aus n Objekten k Objekte auszuwählen, wobei die Reihenfolge nicht berücksichtig wird. Formal: \dbinom n k= \frac{n \cdot \left(n-1\right) \cdot \left(n-2\right) \cdot ... \cdot \left(n-k+1\right)}{1 \cdot 2 \cdot ... \cdot k} . Sie werden auch bei der allgemeinen ->binomischen Formel verwendet.

Binomialverteilung

Unter einer Binomialverteilung versteht man die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines ->Bernoulli-Experiments mit P(E) = p und P(\bar E) =1-p . Für eine Stichprobe vom Umfang n ist die Wahrscheinlichkeit, dass k-mal das Ereignis E eintritt: P_{k}=\dbinom n k p^{k} q^{n-k}.Das ->Galton-Brett kann zur Veranschaulichung dienen. In der Stochastik gibt P(X=k)=\dbinom n k p^{k} q^{n-k} bei einem ->Bernoulli-Experiment die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass man bei n unabhängigen Versuchen mit der jeweiligen Wahrscheinlichkeit p bzw. q = 1 - p genau k Treffer hat. Beispiel: Aus einer Urne mit 33 weißen und 67 schwarzen Kugeln werden 5 Kugeln nacheinander genommen und jeweils die Farbe notiert.…

Binomische Formeln

In der einfachsten Weise: \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2 \cdot ab+b^{2}   (erste binomische Formel) \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2 \cdot ab+b^{2}   (zweite binomische Formel) \left(a+b\right) \cdot \left(a-b\right)=a^{2}-b^{2}     (dritte binomische Formel)  Allgemein:\left(a+b\right)^{n}=\dbinom n 0 a^{n}+ \dbinom n 1 a^{n-1} b+ \dbinom n 2 a^{n-2} b^{2}+...+\dbinom n n b^{n}

biquadratische Gleichung

Eine biquadratische Gleichung  ist eine Gleichung 4. Grades, in der nur die 2. und 4. Potenz sowie ein absolutes Glied vorkommen. Sie kann durch die Substitution x^{2}=z in eine quadratische Gleichung umgewandelt und gelöst werden. Beispiel:x^{4}-13x^{2}+36=0Die Substitution x^{2}=z ergibtz^{2}-13z+36=0z_{1,2}%7D%7B%7D%20%7D=%20%5Cfrac%7B13%7D%7B2%7D%20%20%5Cpm%20%20%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7B169%7D%7B4%7D%20%7D%20-%20%5Cfrac%7B144%7D%7B4%7D%20=%20%5Cfrac%7B13%7D%7B2%7D%20%20%5Cpm%20%20%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%20z_{1}=9     z_{2}=4z_{1}=x^{2}=9 \rightarrow x_{1}=3,x_{2}=-3z_{2}=x^{2}=4 \rightarrow x_{3}=2,x_{4}=-2

Bogenmaß

Maß, bei dem ein Winkel statt in Grad durch die Länge des zugeordneten Bogens am Einheitskreis gemessen wird. Wird vor allem bei den trigonometrischen Funktionen sin(x), cos(x) und tan(x) verwendet, wenn Winkel größer als 90^\circ auftreten. Da der Einheitskreis den Umfang 2\pi hat, entsprechen 360^\circ der Zahl 2\pi oder 1^\circ dem Wert \frac{\pi}{180} \approx 0{,}0174532.

Bolzano, Bernhard

Name: Bernhard Bolzano Geboren: 1781 in Prag Gestorben: 1848 in Prag Lehr-/Forschungsgebiete: Analysis, Geometrie Bernhard Bolzano war ein böhmischer Mathematiker, Theologe und Philosoph, der im 18. und 19. Jahrhundert lebte. In der Mathematik lag ein Schwerpunkt seiner Untersuchungen in der Präzisierung der Analysis. Bekannt ist außerdem der Satz von Bolzano-Weierstraß über beschränkte Folgen komplexer Zahlen. Bedeutend war Bolzano auch als Philosoph. Anders als sein Hauptwerk Wissenschaftslehre wurden viele seiner Schriften erst posthum veröffentlicht oder gewürdigt, da Bolzano aufgrund seiner politischen Ansichten mit einem Berufs- und Publikationsverbot belegt wurde. Er war von liberaler, böhmisch-patriotischer und pazifistischer Haltung. Leben Bernardus Placidus Johann…

Boolesche Algebra

Die Boolesche Algebra findet Anwendung in der Aussagenlogik, der Mengenalgebra und der Schaltalgebra.Unter einer Booleschen Algebra versteht man eine Menge B mit zwei inneren Verknüpfungen \wedge, \vee , für die die folgenden Axiome erfüllt sind:   1. Für alle a, b, c aus B gilt:       a\vee (b\vee c)=(a\vee b)\vee c und a\wedge(b\wedge c)=(a\wedge b)\wedge c (Assoziativgesetze)    2. Für alle a, b aus B gilt:       a\wedge b=b\wedge a und a\vee b=b\vee a (Kommutativgesetze)   3. Für alle a, b, c aus B gilt:       (a\vee b)\wedge c=(a\wedge c)\vee (b\wedge c) und (a\wedge b)\vee c=(a\vee c)\wedge (b\vee c) (Distributivgesetze)   4. Es gibt eine Nullelement n, d.h. a\vee n=a…

Brahmagupta

Name: Brahmagupta Geboren: um 598 im Nordwesten des heutigen Indiens Gestorben: um 670 vermutlich in Ujjain (Indien) Lehr-/Forschungsgebiete: Zahlentheorie, Algebra, Geometrie, Astronomie Brahmagupta war ein indischer Astronom und Mathematiker des 7. Jahrhunderts. Sein Hauptwerk  Brahmasphutasiddhanta hatte großen Einfluss auf die arabischen Wissenschaftler und seine Erkenntnisse gelangten über Übersetzungen aus dem Arabischen später auch ins mittelalterliche Europa. Brahmagupta kann als Entdecker der Zahl Null bezeichnet werden. Er erweiterte außerdem die Mathematik um Kenntnisse in Arithmetik, Algebra und Geometrie, von denen drei seinen Namen tragen: die Brahmagupta-Identität, der Satz von Brahmagupta und die Formel von Brahmagupta. Leben Brahmagupta wurde um 600 im…

Breite

Ein Rechteck hat zwei gegenüberliegende parallele Seitenpaare. Die kürzere Seitenlänge heißt die Breite, die längere Seitenlänge die Länge eines Rechtecks.

Brouwer, Luitzen Egbertus Jan

Name: Luitzen Egbertus Jan Brouwer Geboren: 1881 in Overschie (Niederlande) Gestorben: 1966 in Blaricum (Niederlande) Lehr-/Forschungsgebiete: Topologie, Mengenlehre, Maßtheorie, Funktionentheorie, Logik Luitzen Egbertus Jan Brouwer war ein niederländischer Mathematiker und Philosoph, der von 1881 bis 1966 lebte. Zu den Schwerpunkten seiner Arbeit zählte die Topologie, die er unter anderem um den Fixpunktsatz von Brouwer und den brouwerschen Abbildungsgrad bereicherte. Bekannt wurde  Brouwer als Hauptvertreter der mathematikphilosophischen Strömung des Intuitionismus im Grundlagenstreit der Mathematik der 20er Jahre. Leben Luitzen Egbertus Jan Brouwer wurde 1881 im niederländischen Dorf Overschie geboren, das heute zu Rotterdam gehört. Der älteste von drei Söhnen glänzte in…

Bruch

Ein Bruch besteht aus Zähler, Bruchstrich und Nenner. Der Zähler steht oberhalb, der Nenner unterhalb des Bruchstrichs. Brüche verwendet man immer dann, wenn man Anteile eines Ganzen beschreiben will.Der Zähler gibt an wie viele gleich große Teile von einem Ganzen ausgewählt werden sollen. Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze zerlegt werden soll. Verschiedene Brüche können dabei den gleichen Anteil an einem Ganzen darstellen:  \frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{6}{12} Sie sind dann äquivalent.

Bruch (unechter)

Unter einem unechten Bruch versteht man einen Bruch, in dem der Zähler größer ist als der Nenner. Beispiel: \frac 7 2.Ein unechter Bruch ist stets größer als 1. Man kann einen unechten Bruch in eine gemischte Zahl bestehend aus einer ganze Zahl und einem Bruch umwandeln \frac 7 2 = 3 \frac 1 2 .

Brüche addieren

Beim Addieren von Brüchen musst du die Nenner der zu addierenden Brüche auf einen gemeinsamen Nenner (in der Regel auf  den ->Hauptnenner) bringen. Erst dann kannst du die Zähler addieren. ->Gleichnamige Brüche können direkt addiert werden.
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