Zufallsexperimente und Baumdiagramme

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Hier erfährst du, wie man mit Hilfe von Baumdiagrammen die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen mehrstufiger Zufallsexperimente berechnen kann.

Erweiterung von Baumdiagrammen zu Wahrscheinlichkeitsbäumen

Baumdiagramme können durch eine kleine Erweiterung sehr geschickt zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen mehrstufiger Zufallsexperimente benutzt werden.
 
Dazu trägst du an den Zweigen die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten ein, mit denen das zum Zweig gehörige Ergebnis des Teilexperimentes eintritt. Diese Wahrscheinlichkeiten nennt man kurz Zweigwahrscheinlichkeiten.
 
Ein Baumdiagramm, das Zweigwahrscheinlichkeiten enthält, nennt man auch kurz Wahrscheinlichkeitsbaum. üblicherweise gibt man alle Zweigwahrscheinlichkeiten entweder komplett als Brüche oder Dezimalzahlen an.
Zweimaliges Ziehen aus einer Urne ohne Zurücklegen
 
Du kannst den Wahrscheinlichkeitsbaum zu folgendem Zufallsexperiment konstruieren:Aus der abgebildeten Urne werden nacheinander 2 Kugeln gezogen, ohne sie zurückzulegen.Ein passendes Baumdiagramm ist zum Beispiel:
 
kem StochW StochWGLZuB 1 Zufallsexperimente und Baumdiagrammekem StochW StochWGLZuB 2 Zufallsexperimente und Baumdiagramme
Beachte hierbei, dass die Farbe Blau nur einmal vorkommt und die gezogenen Kugeln nicht zurückgelegt werden. Daher gibt es keinen Zweig zu Blau, nachdem Blau gezogen wurde.
 
Jeder Zweig im Baumdiagramm entspricht einem Ergebnis eines der beiden Teilexperimente „Ziehen der ersten Kugel aus der Urne“ bzw. „Ziehen der zweiten Kugel aus der Urne „.
 
Eine Zweigwahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das zum jeweiligen Zweig gehörige Ergebnis eintritt.
 
Beim Ziehen der ersten Kugel sind die möglichen Ergebnisse kem StochW StochWGLZuB 3 Zufallsexperimente und Baumdiagramme, kem StochW StochWGLZuB 4 Zufallsexperimente und Baumdiagramme und kem StochW StochWGLZuB 5 Zufallsexperimente und Baumdiagramme.
 
Beim ersten Ziehen kann jede Kugel mit derselben Wahrscheinlichkeit ( 1 10 ) gezogen werden.
 
Daher kannst du die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse kem StochW StochWGLZuB 6 Zufallsexperimente und Baumdiagramme, kem StochW StochWGLZuB 7 Zufallsexperimente und Baumdiagramme und kem StochW StochWGLZuB 8 Zufallsexperimente und Baumdiagramme mit Hilfe der Formel für Laplace-Wahrscheinlichkeiten berechnen:
 
Erste Ziehung
 
Wahrscheinlichkeit von Teilergebnis kem StochW StochWGLZuB 9 Zufallsexperimente und Baumdiagramme: 3 10 Wahrscheinlichkeit von Teilergebnis kem StochW StochWGLZuB 10 Zufallsexperimente und Baumdiagramme: 6 10 = 3 5 Wahrscheinlichkeit von Teilergebnis kem StochW StochWGLZuB 11 Zufallsexperimente und Baumdiagramme: 1 10
 
kem StochW StochWGLZuB 12 Zufallsexperimente und Baumdiagramme
 
Die Wahrscheinlichkeiten der Teilergebnisse kem StochW StochWGLZuB 13 Zufallsexperimente und Baumdiagramme, kem StochW StochWGLZuB 14 Zufallsexperimente und Baumdiagramme und kem StochW StochWGLZuB 15 Zufallsexperimente und Baumdiagramme für die zweite Ziehung sind nun abhängig vom Ausgang der ersten Ziehung. Je nachdem fehlt nun eine der Kugeln der Farbe kem StochW StochWGLZuB 16 Zufallsexperimente und Baumdiagramme, kem StochW StochWGLZuB 17 Zufallsexperimente und Baumdiagramme bzw. kem StochW StochWGLZuB 18 Zufallsexperimente und Baumdiagramme.
 
Zweite Ziehung
 
Falls die erste Ziehung kem StochW StochWGLZuB 19 Zufallsexperimente und Baumdiagramme lieferte:Wahrscheinlichkeit von Teilergebnis kem StochW StochWGLZuB 20 Zufallsexperimente und Baumdiagramme: 2 9 Wahrscheinlichkeit von Teilergebnis kem StochW StochWGLZuB 21 Zufallsexperimente und Baumdiagramme: 6 9 = 2 3 Wahrscheinlichkeit von Teilergebnis kem StochW StochWGLZuB 22 Zufallsexperimente und Baumdiagramme: 1 9
 
Falls die erste Ziehung kem StochW StochWGLZuB 23 Zufallsexperimente und Baumdiagramme lieferte:Wahrscheinlichkeit von Teilergebnis kem StochW StochWGLZuB 24 Zufallsexperimente und Baumdiagramme: 3 9 = 1 3 Wahrscheinlichkeit von Teilergebnis kem StochW StochWGLZuB 25 Zufallsexperimente und Baumdiagramme: 5 9 Wahrscheinlichkeit von Teilergebnis kem StochW StochWGLZuB 26 Zufallsexperimente und Baumdiagramme: 1 9
 
Falls die erste Ziehung kem StochW StochWGLZuB 27 Zufallsexperimente und Baumdiagramme lieferte:Wahrscheinlichkeit von Teilergebnis kem StochW StochWGLZuB 28 Zufallsexperimente und Baumdiagramme: 3 9 = 1 3 Wahrscheinlichkeit von Teilergebnis kem StochW StochWGLZuB 29 Zufallsexperimente und Baumdiagramme: 6 9 = 2 3
 
Nach dem Eintragen aller Zweigwahrscheinlichkeiten sieht der Wahrscheinlichkeitsbaum wie folgt aus:
 
kem StochW StochWGLZuB 30 Zufallsexperimente und Baumdiagramme

Die Summenregel für Zweige

Die von einem Knoten ausgehenden Zweige führen zu den Ergebnissen des zugehörigen Teilexperimentes. Die Zusammenfassung aller möglichen Ergebnisse eines Teilexperimentes stellt das sichere Ereignis dar, denn für jeden möglichen Ausgang des Teilexperimentes ist ein Knoten und somit auch ein Zweig vorhanden.
 
Somit ergibt sich:
Summenregel für Zweige: Die Summe der Zweigwahrscheinlichkeiten der von einem Knoten abgehenden Zweige ist 1.
Betrachte zum Beispiel den Wahrscheinlichkeitsbaum zum Experiment „Zweimaliges Ziehen einer Kugel aus der abgebildeten Urne ohne Zurücklegen“.
 
kem StochW StochWGLZuB 31 Zufallsexperimente und Baumdiagrammekem StochW StochWGLZuB 32 Zufallsexperimente und Baumdiagramme
Die vom Wurzelknoten ausgehenden Zweige führen zu den Knoten, die die Ergebnisse des ersten Teilexperiments – das Ziehen der ersten Kugel – darstellen. Die Summe der Zweigwahrscheinlichkeiten ist hierbei 3 10 + 3 5 + 1 10 = 1 .
 
Betrachte nun die Zweige, die das zweite Teilexperiment beschreiben:
 
Je nach Ausgang des ersten Teilexperimentes gibt es verschiedene Wahrscheinlichkeiten für die Farben kem StochW StochWGLZuB 33 Zufallsexperimente und Baumdiagramme, kem StochW StochWGLZuB 34 Zufallsexperimente und Baumdiagramme und kem StochW StochWGLZuB 35 Zufallsexperimente und Baumdiagramme, dennoch ergeben die Summen der Zweigwahrscheinlichkeiten immer 1:
 
Falls die erste Ziehung kem StochW StochWGLZuB 36 Zufallsexperimente und Baumdiagramme lieferte: 2 9 + 2 3 + 1 9 = 1
 
Falls die erste Ziehung kem StochW StochWGLZuB 37 Zufallsexperimente und Baumdiagramme lieferte: 1 3 + 5 9 + 1 9 = 1
 
Falls die erste Ziehung kem StochW StochWGLZuB 38 Zufallsexperimente und Baumdiagramme lieferte: 1 3 + 2 3 = 1
Ergänze am Baumdiagramm die fehlenden Zweigwahrscheinlichkeiten. Gib die Wahrscheinlichkeiten als gekürzte Brüche ein.
Wahrscheinlichkeiten ergänzen
Gemäß der Summenregel muss die Summe der Zweigwahrscheinlichkeiten aller von einem Knoten ausgehenden Zweige 1 sein.
 
So ermittelst du:
 
3 10 = 1 - 3 5 - 1 10
 
3 5 = 1 - 3 10 - 1 10
 
1 10 = 1 - 3 10 - 3 5
kem StochW StochWGLZuB 39 Zufallsexperimente und Baumdiagramme

Die Produktregel für Pfade

Zu jedem Endknoten eines Baumdiagramms führt von der Wurzel ausgehend eine Kette von Zweigen: ein sogenannter Pfad.
 
Ein Pfad beschreibt ein mögliches Ergebnis des mehrstufigen Zufallsexperimentes.
 
Die Pfadwahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein solches Ergebnis eintritt. Sie ist das Produkt aus den Zweigwahrscheinlichkeiten der zum Pfad gehörigen Zweige.
Produktregel für PfadePfadwahrscheinlichkeiten sind die Produkte der Zweigwahrscheinlichkeiten der zu einem Pfad gehörigen Zweige.
Pfade in einem Baumdiagramm und die zugehörigen Ergebnisse
 
Aus der abgebildeten Urne werden nacheinander 2 Kugeln gezogen, ohne sie zurückzulegen. Im Baumdiagramm sind die Ergebnisse und zugehörigen Pfade zum Ereignis „Genau eine Kugel hat die Farbe Gelb“ hervorgehoben.
 
kem StochW StochWGLZuB 40 Zufallsexperimente und Baumdiagrammekem StochW StochWGLZuB 41 Zufallsexperimente und Baumdiagramme
Beachte, dass zum Beispiel kem StochW StochWGLZuB 42 Zufallsexperimente und Baumdiagrammekem StochW StochWGLZuB 43 Zufallsexperimente und Baumdiagramme und kem StochW StochWGLZuB 44 Zufallsexperimente und Baumdiagrammekem StochW StochWGLZuB 45 Zufallsexperimente und Baumdiagramme verschiedene Ergebnisse sind.
 
Um die Wahrscheinlichkeiten einzelner Ergebnisse eines mehrstufigen Zufallsexperimentes zu berechnen, ermittelst du die zugehörigen Pfadwahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Produktregel.
Ergänze am Baumdiagramm die fehlenden Pfadwahrscheinlichkeiten. Gib die Wahrscheinlichkeiten als gekürzte Brüche ein.
Pfadwahrscheinlichkeiten ergänzen
Die Pfadwahrscheinlichkeiten sind die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen möglichen Ergebnisse des mehrstufigen Zufallsexperimentes.
 
Die Produktregel besagt: Du berechnest die Pfadwahrscheinlichkeit für ein Ergebnis des mehrstufigen Zufallsexperimentes, indem du die Wahrscheinlichkeiten der Zweige multiplizierst, die den Pfad zu diesem Ergebnis bilden.
 
Auf diese Weise ermittelst du:
 
P(kem StochW StochWGLZuB 46 Zufallsexperimente und Baumdiagrammekem StochW StochWGLZuB 47 Zufallsexperimente und Baumdiagramme) = 3 10 * 3 10 = 9 100
 
P(kem StochW StochWGLZuB 48 Zufallsexperimente und Baumdiagrammekem StochW StochWGLZuB 49 Zufallsexperimente und Baumdiagramme) = 3 5 * 3 10 = 9 50
 
P(kem StochW StochWGLZuB 50 Zufallsexperimente und Baumdiagrammekem StochW StochWGLZuB 51 Zufallsexperimente und Baumdiagramme) = 3 5 * 1 10 = 3 50
 
P(kem StochW StochWGLZuB 52 Zufallsexperimente und Baumdiagrammekem StochW StochWGLZuB 53 Zufallsexperimente und Baumdiagramme) = 1 10 * 3 5 = 3 50
kem StochW StochWGLZuB 54 Zufallsexperimente und Baumdiagramme

Ereigniswahrscheinlichkeiten mit Wahrscheinlichkeitsbäumen berechnen

Wenn du ein Baumdiagramm zu einem Wahrscheinlichkeitsbaum erweitert hast, kannst du diesen Baum nutzen, um Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen des zugehörigen Zufallsexperimentes zu berechnen.
 
Dazu markierst du alle Ergebnisse des mehrstufigen Zufallsexperimentes, die zu einem interessierenden Ereignis gehören und ermittelst für diese die zugehörigen Pfadwahrscheinlichkeiten.
 
Zum Schluss addierst du diese Pfadwahrscheinlichkeiten.
Aus der abgebildeten Urne werden nacheinander 2 Kugeln gezogen, ohne sie zurückzulegen. Ein zugehöriger Wahrscheinlichkeitsbaum ist angegeben:
 
kem StochW StochWGLZuB 55 Zufallsexperimente und Baumdiagrammekem StochW StochWGLZuB 56 Zufallsexperimente und Baumdiagramme
 
Du berechnest die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E „Genau eine Kugel hat die Farbe Gelb“, indem du zuerst die zum Ereignis E – „Genau eine Kugel hat die Farbe Gelb“ – gehörigen Ergebnisse den entsprechenden Endknoten im Baum zuordnest:kem StochW StochWGLZuB 57 Zufallsexperimente und Baumdiagrammekem StochW StochWGLZuB 58 Zufallsexperimente und Baumdiagramme; kem StochW StochWGLZuB 59 Zufallsexperimente und Baumdiagrammekem StochW StochWGLZuB 60 Zufallsexperimente und Baumdiagramme; kem StochW StochWGLZuB 61 Zufallsexperimente und Baumdiagrammekem StochW StochWGLZuB 62 Zufallsexperimente und Baumdiagramme; kem StochW StochWGLZuB 63 Zufallsexperimente und Baumdiagrammekem StochW StochWGLZuB 64 Zufallsexperimente und Baumdiagramme
 
kem StochW StochWGLZuB 65 Zufallsexperimente und Baumdiagramme
 
Dann berechnest du für jedes zu E gehörige Ergebnis die Pfadwahrscheinlichkeit.
 
Dabei wendest du die Produktregel für Pfadwahrscheinlichkeiten an:
 
P(kem StochW StochWGLZuB 66 Zufallsexperimente und Baumdiagrammekem StochW StochWGLZuB 67 Zufallsexperimente und Baumdiagramme) = 3 10 * 2 3 = 1 5
 
P(kem StochW StochWGLZuB 68 Zufallsexperimente und Baumdiagrammekem StochW StochWGLZuB 69 Zufallsexperimente und Baumdiagramme) = 3 5 * 1 3 = 1 5
 
P(kem StochW StochWGLZuB 70 Zufallsexperimente und Baumdiagrammekem StochW StochWGLZuB 71 Zufallsexperimente und Baumdiagramme) = 3 5 * 1 9 = 1 15
 
P(kem StochW StochWGLZuB 72 Zufallsexperimente und Baumdiagrammekem StochW StochWGLZuB 73 Zufallsexperimente und Baumdiagramme) = 1 10 * 2 3 = 1 15
 
Diese Pfadwahrscheinlichkeiten schreibst du neben die zugehörigen Ergebnisse.
 
kem StochW StochWGLZuB 74 Zufallsexperimente und Baumdiagramme
 
Du berechnest die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E (“Genau eine Kugel hat die Farbe Gelb”), indem du die Pfadwahrscheinlichkeiten der zu E gehörigen Ergebnisse addierst:
 
kem StochW StochWGLZuB 75 Zufallsexperimente und Baumdiagramme
Die beiden abgebildeten Glücksräder werden jeweils einmal gedreht. Zuerst wird das linke, dann das rechte Glücksrad gedreht.
 
kem StochW StochWGLZuB 76 Zufallsexperimente und Baumdiagrammekem StochW StochWGLZuB 77 Zufallsexperimente und Baumdiagramme
 
Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E „Die Räder bleiben auf derselben Farbe stehen“.Konstruiere dazu ein zum beschriebenen Zufallsexperiment gehöriges Baumdiagramm. Färbe dabei auch die Knoten entsprechend und gib an den Zweigen die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten als Dezimalzahlen ein.
Baumdiagramm konstruieren
Die vom Startknoten ausgehenden Zweige führen zu den Knoten, die den möglichen Ergebnissen des ersten Teilexperimentes „Drehen am linken Glücksrad“ entsprechen:
 
kem StochW StochWGLZuB 78 Zufallsexperimente und Baumdiagramme und kem StochW StochWGLZuB 79 Zufallsexperimente und Baumdiagramme.
 
Dabei spielt die Reihenfolge der Zweige bzw. Knoten keine Rolle.
 
In gleicher Weise gehen von den Knoten, die die Ergebnisse des ersten Teilexperimentes darstellen, diejenigen Zweige aus, die nun zu den möglichen Ergebnissen des zweiten Teilexperimentes „Drehen am rechten Glücksrad“ führen:
 
kem StochW StochWGLZuB 80 Zufallsexperimente und Baumdiagramme und kem StochW StochWGLZuB 81 Zufallsexperimente und Baumdiagramme.
 
Wiederum spielt dabei die Reihenfolge der Zweige bzw. Knoten keine Rolle.
kem StochW StochWGLZuB 82 Zufallsexperimente und Baumdiagramme
Zweigwahrscheinlichkeiten ergänzen
Eine Zweigwahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das zum jeweiligen Zweig gehörige Ergebnis eintritt.
 
Beim Drehen sowohl des linken Glücksrades als auch des rechten Glücksrades sind die möglichen Ergebnisse kem StochW StochWGLZuB 83 Zufallsexperimente und Baumdiagramme und kem StochW StochWGLZuB 84 Zufallsexperimente und Baumdiagramme.
 
Da für die beiden Glücksräder jeder Sektor mit gleicher Wahrscheinlichkeit ( 1 10 bzw. 1 5 ) gedreht werden kann, berechnest du die Wahrscheinlichkeiten der Teilergebnisse kem StochW StochWGLZuB 85 Zufallsexperimente und Baumdiagramme und kem StochW StochWGLZuB 86 Zufallsexperimente und Baumdiagramme für die beiden Glücksräder mit Hilfe der Formel für Laplace-Wahrscheinlichkeiten:
 
Drehen des linken Glücksrades:Wahrscheinlichkeit von Teilergebnis kem StochW StochWGLZuB 87 Zufallsexperimente und Baumdiagramme: 3 10 = 0,3Wahrscheinlichkeit von Teilergebnis kem StochW StochWGLZuB 88 Zufallsexperimente und Baumdiagramme: 7 10 = 0,7
 
Drehen des rechten Glücksrades:Wahrscheinlichkeit von Teilergebnis kem StochW StochWGLZuB 89 Zufallsexperimente und Baumdiagramme: 2 5 = 0,4Wahrscheinlichkeit von Teilergebnis kem StochW StochWGLZuB 90 Zufallsexperimente und Baumdiagramme: 3 5 = 0,6
kem StochW StochWGLZuB 91 Zufallsexperimente und Baumdiagramme
Ergebnisse auswählen
Du ziehst alle diejenigen Ergebnisse an die entsprechenden Positionen im Baum, die zu dem Ereignis E „Die Räder bleiben auf derselben Farbe stehen“ gehören:
 
kem StochW StochWGLZuB 92 Zufallsexperimente und Baumdiagrammekem StochW StochWGLZuB 93 Zufallsexperimente und Baumdiagramme und kem StochW StochWGLZuB 94 Zufallsexperimente und Baumdiagrammekem StochW StochWGLZuB 95 Zufallsexperimente und Baumdiagramme.
kem StochW StochWGLZuB 96 Zufallsexperimente und Baumdiagramme
Pfadwahrscheinlichkeiten ermitteln
Du berechnest die Pfadwahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Produktregel. Du multiplizierst also die Zweigwahrscheinlichkeiten der Pfade, die zu den zum Ereignis E gehörenden Ergebnissen führen.
 
P(kem StochW StochWGLZuB 97 Zufallsexperimente und Baumdiagrammekem StochW StochWGLZuB 98 Zufallsexperimente und Baumdiagramme) = 0,3 * 0,4 = 0,12P(kem StochW StochWGLZuB 99 Zufallsexperimente und Baumdiagrammekem StochW StochWGLZuB 100 Zufallsexperimente und Baumdiagramme) = 0,7 * 0,6 = 0,42
kem StochW StochWGLZuB 101 Zufallsexperimente und Baumdiagramme
Wahrscheinlichkeit berechnen
Du ermittelst die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit Hilfe eines Wahrscheinlichkeitsbaumes, indem du die Pfadwahrscheinlichkeiten der zum Ereignis gehörigen Ergebnisse addierst.
 
P(E) = P(kem StochW StochWGLZuB 102 Zufallsexperimente und Baumdiagrammekem StochW StochWGLZuB 103 Zufallsexperimente und Baumdiagramme) + P(kem StochW StochWGLZuB 104 Zufallsexperimente und Baumdiagrammekem StochW StochWGLZuB 105 Zufallsexperimente und Baumdiagramme) = 0,12 + 0,42 = 0,54
P(E) = 0,54

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