Satz des Pythagoras und seine Umkehrung

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Der Satz des Pythagoras und seine Umkehrung
 
Hier erfährst du, was der Satz des Pythagoras und seine Umkehrung besagen und was ein pythagoreisches Zahlentripel ist.

Der Satz des Pythagoras

Fast jeder hat den Satz schon einmal gehört: a 2 + b 2 = c 2 .
 
Du kannst die Aussage des Satzes nachvollziehen, wenn du über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks jeweils ein Quadrat zeichnest.
 
Dann erhältst du diese Figur:
 
kem GeoII GeoIISGdPSdP 1 Satz des Pythagoras und seine Umkehrung
 
In einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit dem rechten Winkel im Punkt C sind a und b die Längen der Katheten und c die der Hypotenuse .
 
Es ist a 2 der Flächeninhalt des Quadrats über der Kathete der Länge a , b 2 der Flächeninhalt des Quadrats über der Kathete der Länge b und c 2 der Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse.
Satz des PythagorasIn einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der beiden Quadrate über den Katheten der Längen a und b gleich dem Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse der Länge c .Als Formel: a 2 + b 2 = c 2
Flächeninhalt eines Kathetenquadrats
 
kem GeoII GeoIISGdPSdP 2 Satz des Pythagoras und seine Umkehrung
 
Der Flächeninhalt A über der Kathete (Länge b ) (in cm 2 ):
 
Nach dem Satz des Pythagoras gilt: a 2 + b 2 = c 2
 
Du stellst nach b 2 um und setzt die Werte ein.kem GeoII GeoIISGdPSdP 3 Satz des Pythagoras und seine Umkehrung
Der Satz des Pythagoras gilt aber auch in jedem anders bezeichneten rechtwinkligen Dreieck.kem GeoII GeoIISGdPSdP 4 Satz des Pythagoras und seine UmkehrungIm Dreieck RST liegt der rechte Winkel am Punkt S .Hier ist s die Länge der Hypotenuse und die Längen der Katheten sind r bzw. t .

Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck berechnen

Mit dem Satz des Pythagoras lassen sich nicht nur Flächeninhalte berechnen, sondern auch die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks.
Länge der Hypotenuse (in cm )kem GeoII GeoIISGdPSdP 5 Satz des Pythagoras und seine Umkehrung Länge c der Hypotenuse
 
kem GeoII GeoIISGdPSdP 6 Satz des Pythagoras und seine Umkehrung
 
Also: c = 17
Länge einer Kathete (in cm )kem GeoII GeoIISGdPSdP 7 Satz des Pythagoras und seine Umkehrung Länge b der Kathete
 
kem GeoII GeoIISGdPSdP 8 Satz des Pythagoras und seine Umkehrung
 
Also: b = 20

Die Umkehrung des Satzes des Pythagoras

Ein rechter Winkel lässt sich auf ganz einfache Weise im Gelände abstecken.
 
Hierzu nimmst du eine Schnur und unterteilst sie mit 11 Knoten in 12 gleich lange Teile. Mit dieser Schnur kannst du ein Dreieck mit den Seitenlängen 3, 4 und 5 legen, denn 3 + 4 + 5 = 12. Es ergibt sich ein rechter Winkel.
 
kem GeoII GeoIISGdPSdP 9 Satz des Pythagoras und seine Umkehrung
 
Dass dieser „Trick“ funktioniert, folgt nicht aus dem Satz des Pythagoras, sondern aus seiner Umkehrung.
 
Diese Umkehrung besagt:
 
Wenn in einem Dreieck ABC a 2 + b 2 = c 2 gilt, dann ist das Dreieck rechtwinklig, wobei der rechte Winkel der Seite mit der Länge c gegenüber liegt.
 
Du kannst also anhand der Seitenlängen eines Dreiecks überprüfen, ob es ein rechtwinkliges Dreieck ist.
Nach der jährlichen überschwemmung durch den Nil benutzten schon die ägypter die Zwölfknotenschnur zur Neuvermessung des Landes.
Umkehrung des Satzes des PythagorasWenn in einem Dreieck ABC mit den Seitenlängen a , b und c die Gleichung a 2 + b 2 = c 2 gilt, dann ist das Dreieck rechtwinklig, wobei der rechte Winkel der Seite mit der Länge c gegenüberliegt.
Willst du ein Dreieck auf Rechtwinkligkeit überprüfen, kommt immer nur die längste der drei Seiten als Hypotenuse in Frage.
Ist ein Dreieck ABC mit den Seitenlängen c = 8.5 cm , a = 4 cm und b = 7.5 cm rechtwinklig?
 
Als Hypotenuse kommt nur die Seite der Länge c in Frage.
 
Du überprüfst die Gültigkeit der Gleichung a 2 + b 2 = c 2 :
 
kem GeoII GeoIISGdPSdP 10 Satz des Pythagoras und seine Umkehrung
 
Es gilt a 2 + b 2 = c 2 , also ist das Dreieck rechtwinklig.
 
(Maße in cm) kem GeoII GeoIISGdPSdP 11 Satz des Pythagoras und seine Umkehrung
Ist das Dreieck rechtwinklig? (Maße in cm ) kem GeoII GeoIISGdPSdP 12 Satz des Pythagoras und seine Umkehrung
 
Als Hypotenuse kommt nur die Seite mit der Länge c = 13.6 cm in Frage.Du überprüfst die Gleichung a 2 + b 2 = c 2 für dieses Dreieck:
 
kem GeoII GeoIISGdPSdP 13 Satz des Pythagoras und seine Umkehrung
 
Es gilt a 2 + b 2 c 2 , also ist das Dreieck nicht rechtwinklig.

Pythagoreische Zahlentripel

Drei natürliche Zahlen a , b , c , die die Gleichung a 2 + b 2 = c 2 erfüllen, heißen pythagoreisches Zahlentripel ( a , b , c ) (Tripel, weil es drei Zahlen sind).
 
Das Tripel ( 3 , 4 , 5 ) ist ein solches pythagoreisches Zahlentripel.
Pythagoreische Zahlentripel lassen sich leicht erzeugen:
 
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Alle pythagoreischen Zahlentripel lassen sich so darstellen.
Jedes rechtwinklige Dreieck mit ganzzahligen Seitenlängen a , b und c liefert ein pythagoreisches Zahlentripel ( a , b , c ). Umgekehrt liefert jedes pythagoreische Zahlentripel ( a , b , c ) ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen a , b und c . Dies folgt aus dem Satz des Pythagoras und seiner Umkehrung.kem GeoII GeoIISGdPSdP 15 Satz des Pythagoras und seine Umkehrung
 
kem GeoII GeoIISGdPSdP 16 Satz des Pythagoras und seine Umkehrungkem GeoII GeoIISGdPSdP 17 Satz des Pythagoras und seine Umkehrung
 
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