Quadratische Funktionen

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Funktionsterm und Graph einer quadratischen Funktion

Funktionen, die sich mit Termen der Form
 
f x = a x 2 + b x + c mit a 0
 
darstellen lassen, heißen quadratische Funktionen.
 
Ihre Graphen heißen Parabeln.
 
Die Gleichung y = a x 2 + b x + c heißt Parabelgleichung.
 
Alle Punkte x | y , deren Koordinaten x und y diese Gleichung erfüllen, liegen somit auf der Parabel.
 
Die einfachste quadratische Funktion hat die Gleichung y = f x = x 2 .
 
Ihr Graph ist die Normalparabel.
 
kem MSABB MSABBFktQuF 1 Quadratische Funktionen
 
Du berechnest den Funktionswert (y-Wert) zu einem Argument (x-Wert), indem du dieses in den Funktionsterm einsetzt.
y = f x = -2 x 2 + 3 y = f 2 = -2 * 2 2 + 3 = -5

Besondere Punkte von quadratischen Funktionen

Nullstellekem MSABB MSABBFktQuF 2 Quadratische Funktionen
 
y-Achsenabschnittkem MSABB MSABBFktQuF 3 Quadratische Funktionen
 
kem MSABB MSABBFktQuF 4 Quadratische Funktionen
 
Scheitelpunkt:Ist die Parabel nach unten geöffnet, dann ist der Scheitelpunkt gleich dem Hochpunkt ( Maximum ).Ist die Parabel nach oben geöffnet, dann ist der Scheitelpunkt gleich dem Tiefpunkt ( Minimum ).
 
Ist die Lage des Scheitelpunktes bekannt, kann die Parabel, sofern sie nicht durch Parameter verzerrt ist, mit Hilfe einer Parabelschablone schnell in ein Koordinatensystem gezeichnet werden.
 
kem MSABB MSABBFktQuF 5 Quadratische Funktionen

Verschiebung entlang der y-Achse

Addierst du zum Funktionsterm der Funktion f mit f x = x 2 eine Konstante e, dann ist der Graph der neuen Funktion
 
g x = x 2 + e
 
eine entlang der y-Achse verschobene Normalparabel.
 
Der Scheitelpunkt dieser Parabel ist S 0 | e .
Für e > 0 wird die Parabel entlang der y-Achse um e Einheiten nach oben verschoben.
 
Für e < 0 wird die Parabel entlang der y-Achse um e Einheiten nach unten verschoben.
y = x 2 + 3
 
kem MSABB MSABBFktQuF 6 Quadratische Funktionen
y = x 2 - 2
 
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Verschiebung entlang der x-Achse

Subtrahierst du von den Argumenten der Funktion f mit f x = x 2 eine Konstante d, dann ist der Graph der neuen Funktion
 
g x = x - d 2
 
eine entlang der x-Achse verschobene Normalparabel.
 
Der Scheitelpunkt dieser Parabel ist S d | 0 .
Für d > 0 ist die Parabel entlang der x-Achse um d Einheiten nach rechts verschoben.
 
Für d < 0 ist die Parabel entlang der x-Achse um d Einheiten nach links verschoben.
y = x - 2 2
 
kem MSABB MSABBFktQuF 8 Quadratische Funktionen
y = x - -2 2 = x + 2 2
 
kem MSABB MSABBFktQuF 9 Quadratische Funktionen

Scheitelpunktform

Oft werden quadratische Funktionsterme in der Scheitelpunktform angegeben:
 
f x = a x - d 2 + e
 
Du kannst aus ihr die Koordinaten des Scheitelpunkts der zugehörigen Parabel direkt ablesen:
 
S d | e
 
Zusätzlich kannst du den Streckfaktor a der Parabel ablesen. Es ist der Faktor vor der Klammer.
kem MSABB MSABBFktQuF 10 Quadratische Funktionen
kem MSABB MSABBFktQuF 11 Quadratische Funktionen

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