Proportionale Zuordnungen

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In diesen Erklärungen erfährst du, was proportionale Zuordnungen sind und wie du sie erkennen, konstruieren und graphisch darstellen kannst. Dir wird gezeigt, wie die Dreisatz-Rechnung funktioniert und wie du damit Werte einer proportionalen Zuordnung bestimmen kannst.

Wertetabellen und Zuordnungen

Mit Zuordnungen kann eine Zahl oder Größe genau einer anderen Zahl oder Größe zugeordnet werden.
 
Zuordnungen kannst du in einer Wertetabelle darstellen.
 
Eine Wertetabelle besteht immer aus zwei Zeilen. Einem Wert aus der ersten Zeile wird der unter ihm stehende Wert in der zweiten Zeile zugeordnet.
 
Einheiten oder Beschreibungen von Werten schreibt man in Wertetabellen üblicherweise in die erste Spalte.
Jeder Zahl aus der oberen Zeile einer Wertetabelle wird die Zahl unter ihr zugeordnet.
kem ZU ZUZUProp 1 Proportionale Zuordnungen
Hier wird also der Länge 1 m der Geldbetrag 2 und der Länge 2 m der Geldbetrag 3 zugeordnet:
 
1 m kem ZU ZUZUProp 2 Proportionale Zuordnungen 2 2 m kem ZU ZUZUProp 3 Proportionale Zuordnungen 3
kem ZU ZUZUProp 4 Proportionale Zuordnungen
In dieser Tabelle wird Lara, Sophie und André jeweils ihre Körpergröße in Metern zugeordnet.
 
Die Einheit (m) steht nur einmal für die gesamte untere Zeile in der ersten Spalte.

Proportionale Zuordnungen und ihre Wertetabellen

Eine Zuordnung ist dann proportional, wenn mit einem gleichbleibenden (positiven) Faktor multipliziert wird. Den Faktor nennt man dann Proportionalitätsfaktor.
 
Für eine proportionale Zuordnung gilt die Aussage „je mehr, desto mehr“. Wenn diese verletzt ist, ist die Zuordnung nicht proportional.Wenn sie gilt, ist sie möglicherweise proportional.
Der Proportionalitätsfaktor ist für Werte ungleich Null immer das Ergebnis eines Werts aus der unteren Zeile, dividiert durch den darüber stehenden Wert.
Die untere Zeile berechnest du aus der oberen durch Multiplikation mit dem Proportionalitätsfaktor.
Den Größen 1 kg , 3 kg und 4 kg soll proportional jeweils eine Größe mit Einheit Euro zugeordnet werden, der Proportionalitätsfaktor ist 5 .
 
Erstelle die Wertetabelle für diese Zuordnung.
Wertetabelle erstellen
Wie hier zu erkennen ist, wird bei einer proportionalen Zuordnung die 1 immer dem Proportionalitätsfaktor zugeordnet.
Ist diese Zuordnung proportional?
 
kem ZU ZUZUProp 5 Proportionale Zuordnungen
 
kem ZU ZUZUProp 6 Proportionale Zuordnungen
Proportionale Zuordnung erkennen
Um die Existenz eines Proportionalitätsfaktors zu überprüfen, löst du diese drei Ergänzungsaufgaben:
 
0 * 0.5 = 0 2 * 0.5 = 1 4 * 0.5 = 2 5 * 0.5 = 2.5
 
Alle vier Gleichungen werden von 0,5 gelöst. Die Zuordnung ist daher proportional mit dem Proportionalitätsfaktor 0,5.
 
Wie hier zu erkennen ist, wird bei einer proportionalen Zuordnung die Null immer der Null zugeordnet.
kem ZU ZUZUProp 7 Proportionale Zuordnungen
Ist diese Zuordnung proportional?
 
kem ZU ZUZUProp 8 Proportionale Zuordnungen
 
kem ZU ZUZUProp 9 Proportionale Zuordnungen
Zuordnungen an Wertetabellen
Um zu überprüfen, ob in jeder Spalte mit dem gleichen Faktor multipliziert wurde, löst du diese drei Ergänzungsaufgaben: 1 * 2 = 2 3 * 1 = 3 6 * 1 = 6 Bei proportionalen Zuordnungen ist der Faktor, mit dem multipliziert wird, immer gleich. Diese Zuordnung ist nicht proportional, da 2 und 1 nicht gleich sind.
kem ZU ZUZUProp 10 Proportionale Zuordnungen
Zuordnungen im Alltag
Lara kauft häufig mehrere Joghurts der selben Sorte im Supermarkt. Der jeweiligen Anzahl wird der zughörige Preis zugeordnet.Anzahl gekaufter Joghurts kem ZU ZUZUProp 11 Proportionale Zuordnungen Gesamtpreis
 
Ist diese Zuordnung proportional?
 
kem ZU ZUZUProp 12 Proportionale Zuordnungen
Zuordnungen im Alltag
Jeder Joghurt kostet gleich viel.Den Gesamtpreis mehrerer Joghurts berechnest du also durch Multiplikation des Einzelpreises mit der Anzahl der Joghurts.Insbesondere kosten mehr Joghurts auch stets mehr Geld.
 
Diese Zuordnung ist proportional, der Einzelpreis eines Joghurts stellt den Proportionalitätsfaktor dar.
 
Die Zuordnung „Anzahl“ zu „Gesamtpreis“ beim Einkaufen mehrerer gleicher Artikel ist proportional, wenn es keine Mengen-Rabatte gibt.
kem ZU ZUZUProp 13 Proportionale Zuordnungen
Im Parkhaus kostet jede angefangene Stunde Parken 2 . Die Anzahl der Minuten wird dem Preis für das Parken zugeordnet.Anzahl der Minuten kem ZU ZUZUProp 14 Proportionale Zuordnungen Parkkosten in Euro
 
Ist diese Zuordnung proportional?
 
kem ZU ZUZUProp 15 Proportionale Zuordnungen
Proportionale Zuordnung erkennen
Bei einer proportionalen Zuordnung müsste gelten: Je mehr Zeit ich im Parkhaus verbringe, umso mehr Geld muss ich bezahlen.
 
Im Parkhaus kosten aber 20 min und 30 min gleich viel Geld, nämlich 2 . Das heißt, obwohl ich mehr Zeit im Parkhaus verbringe, zahle ich gleich viel Geld.
 
Diese Zuordnung ist daher nicht proportional.
kem ZU ZUZUProp 16 Proportionale Zuordnungen

Graphen proportionaler Zuordnungen

Zuordnungen von Zahlen können in einem Koordinatensystem dargestellt werden. Jedes Zahlenpaar entspricht einem Punkt im Koordinatensystem.
 
Wenn du eine proportionale Zuordnung graphisch darstellst, liegen die Punkte immer zusammen auf einer Geraden.Diese Gerade verläuft durch den Koordinatenursprung von unten links nach oben rechts stets steigend, da die Null der Null zugeordnet wird und die Aussage „je mehr, desto mehr“ gilt.
Graphen zeichnen
Trage die Werte dieser proportionalen Zuordnung in das Koordinatensystem ein!
 
kem ZU ZUZUProp 17 Proportionale Zuordnungen
Markieren von Punkten im Koordinatensystem
Wie bei jeder proportionalen Zuordnung liegen die Punkte zusammen auf einer Geraden, die durch den Koordinatenursprung geht.
kem ZU ZUZUProp 18 Proportionale Zuordnungen
 
Graphen erkennen
Welcher Graph stellt eine proportionale Zuordnung dar?
 
kem ZU ZUZUProp 19 Proportionale Zuordnungen
Graph auswählen
Da die Null der Null zugeordnet werden muss, stellen nur Geraden, die durch den Nullpunkt gehen, proportionale Zuordnungen dar.
kem ZU ZUZUProp 20 Proportionale Zuordnungen
Welcher Graph gehört zu dieser proportionalen Zuordnung?
 
kem ZU ZUZUProp 21 Proportionale Zuordnungen
 
kem ZU ZUZUProp 22 Proportionale Zuordnungen
Zugehörigen Graph erkennen
Beide Graphen stellen proportionale Zuordnungen dar.Du musst also die Punkte für ein Wertepaar in beiden Graphen genau ablesen.Hier liegt der Punkt (2|4) aus der zweiten Tabellenspalte nur auf der Geraden links im Bild.
kem ZU ZUZUProp 23 Proportionale Zuordnungen

Dreisatz-Rechnung

Ist bei einer proportionalen Zuordnung ein Wertepaar gegeben, so kannst du den Zuordnungswert jeder weiteren Zahl berechnen.Dafür kannst du die Dreisatz-Rechnung in einer Tabelle anwenden. Bei der Dreisatz-Rechnung rechnest du auf einen Zwischenwert (zum Beispiel 1) zurück.
 
In den folgenden Beispielen wird dir gezeigt, wie du diese Tabelle benutzen kannst.
Führe beim Dreisatz immer in beiden Spalten der Tabelle die gleiche Punktrechnung aus.
Proportionale Zuordnung mit Eins als übergangswert
Berechne für einen festen Stundenlohn, wie viel Euro in sieben Stunden verdient werden, wenn 12 Stunden Arbeit 96 Lohn bringen.
Proportionale Zuordnung
Proportionale Zuordnung mit größtem gemeinsamen Teiler als übergangswert
 
Oft ist es durch die gegebenen Zahlen einfacher auf einen anderen übergangswert zu rechnen. Dazu nutzt du den größten gemeinsamen Teiler (ggT) der Zahlen in der Spalte.
Gegeben ist eine proportionale Zuordnung.Berechne den gesuchten Wert, indem du die Tabelle dieser Zuordnung vollständig ausfüllst.
 
kem ZU ZUZUProp 24 Proportionale Zuordnungen
Proportionale Zuordnung
15 Stück kosten 22.50 und du suchst den Preis für 9 Stück.In der linken Spalte stehen nun bereits zwei Zahlen ( 15 und 9 ). Zwischen diese beiden schreibst du zunächst eine Umrechnungszahl.Du kannst bei diesem Beispiel auf einen Wert zurückrechnen, der größer ist als 1 . Dazu nutzt du den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von 15 und 9.
 
Wenn du auf 1 zurückrechnest, statt auf den ggT, dann musst du 22,50 durch 15 teilen, das ist schwieriger als durch 5 zu teilen:kem ZU ZUZUProp 25 Proportionale Zuordnungen
kem ZU ZUZUProp 26 Proportionale Zuordnungen
 
Proportionale Zuordnung in einer Textaufgabe
Philipp bekommt Besuch und möchte für 6 Personen Tiramisu zubereiten. Im Kochbuch findet er ein Rezept. Für vier Personen werden dort 300 g Sahne benötigt. Philipp überlegt, wie viel Gramm er für sechs Personen benutzen muss.
 
Entscheide, ob bei dieser Fragestellung eine proportionale Zuordnung betrachtet wird undberechne anschließend das Ergebnis.
Proportionale Zuordnung erkennen
Bei Rezepten geht man üblicherweise davon aus, dass alle gleich viel essen.Für mehr Personen brauchst du auch entsprechend mehr Zutaten. Die benötigte Menge kannst du berechnen, indem du die pro Person benötigte Menge mit der Anzahl der Personen multiplizierst.
 
Daher ist die ZuordnungAnzahl der Personen kem ZU ZUZUProp 27 Proportionale Zuordnungen Menge einer Zutatin diesen Fällen immer proportional.
Bei dieser Fragestellung wird eine proportionale Zuordnung betrachtet:
 
kem ZU ZUZUProp 28 Proportionale Zuordnungen
Proportionale Zuordnung
Für 4 Personen werden 300 g Sahne benötigt, also braucht man für 2 Personen nur halb so viel: 150 g . 6 Personen essen dreimal so viel wie 2 , also braucht man für 6 Personen das Dreifache an Sahne.
kem ZU ZUZUProp 29 Proportionale Zuordnungen
Antwortsatz vervollständigen
Du liest das Ergebnis in der letzten Zeile der Tabelle ab.Wenn sechs Personen mitessen, benötigt Philipp 450 g Sahne.
Für sechs Personen muss Philipp 450 g Sahne verwenden.

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