Potenzgesetze für Potenzen mit rationalem Exponenten

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Potenzen mit rationalen Exponenten

Für eine positive reelle Zahl a und natürliche Zahlen m , n 2 wird vereinbart:
 
a m n = a m n und a - m n = 1 a m n
Für positive Exponenten darf auch a = 0 sein: 0 m n = 0 m n = 0
 
Du kannst jede Wurzel als Potenz mit rationalem Exponenten und jede Potenz mit rationalem Exponenten als Wurzel schreiben.
5 3 4 = 5 3 4
5 - 3 4 = 1 5 3 4
Insbesondere lassen sich damit n-te Wurzeln als Potenzen mit rationalen Exponenten schreiben.
81 4 = 81 1 4

Potenzgesetze

Potenzen mit gleicher Basis
 
Für rationale Zahlen r und s und eine positive reelle Zahl a gilt:
 
a r * a s = a r + s und a r a s = a r - s
Für positive Exponenten darf beim Multiplizieren auch a = 0 sein: 0 r * 0 s = 0 r + s = 0
 
Die Division durch 0 ist jedoch nicht möglich.
7 1 2 * 7 1 4 = 7 3 4
kem T PGrExrEx 1 Potenzgesetze für Potenzen mit rationalem Exponenten
Potenzen mit gleichem Exponenten
 
Für eine rationale Zahl r und positive reelle Zahlen a und b gilt:
 
a r * b r = a b r und a r b r = a b r
5 3 4 * 7 3 4 = 35 3 4
kem T PGrExrEx 2 Potenzgesetze für Potenzen mit rationalem Exponenten
Potenzen von Potenzen
 
Für rationale Zahlen r und s und eine positive reelle Zahl a gilt:
 
a r s = a r * s
4 4 5 1 2 = 4 2 5
kem T PGrExrEx 3 Potenzgesetze für Potenzen mit rationalem Exponenten

Berechnen von Potenzen mit rationalem Exponenten

Auf Grund der Potenzgesetze ist es bei der Berechnung einer Potenz mit rationalem Exponenten egal, ob du erst potenzierst und dann die Wurzel ziehst oder umgekehrt.
Für eine positive reelle Zahl a und natürliche Zahlen m , n 2 gilt: a m n = a m n = a n m
8 2 3 ist die 3. Wurzel aus der 2. Potenz von 8.
 
oder
 
8 2 3 ist die 2. Potenz der 3. Wurzel aus 8.
kem T PGrExrEx 4 Potenzgesetze für Potenzen mit rationalem Exponenten oder kem T PGrExrEx 5 Potenzgesetze für Potenzen mit rationalem Exponenten
Auch bei negativen Exponenten gibt es entsprechende Formulierungen.
Für eine positive reelle Zahl a und natürliche Zahlen m , n 2 gilt: a - m n = 1 a m n = a - m n
3 -2 5 = 3 - 2 5

Rechnen mit Wurzeln

Mit Hilfe der Potenzgesetze lassen sich auch die Rechenregeln für Wurzeln herleiten.
7 2 * 7 4 = 7 3 4
Du schreibst die Wurzeln als Potenzen und wendest das Potenzgesetz für Potenzen mit gleicher Basis an.
 
kem T PGrExrEx 6 Potenzgesetze für Potenzen mit rationalem Exponenten
5 3 4 * 7 3 4 = 35 3 4
Du schreibst die Wurzeln als Potenzen und wendest das Potenzgesetz für Potenzen mit gleichen Exponenten an.
 
kem T PGrExrEx 7 Potenzgesetze für Potenzen mit rationalem Exponenten
3 5 2 = 3 10
Du schreibst die Wurzeln als Potenzen und wendest das Potenzgesetz für Potenzen von Potenzen an.
 
kem T PGrExrEx 8 Potenzgesetze für Potenzen mit rationalem Exponenten

Rationalmachen des Nenners

Wurzeln im Nenner lassen sich durch geschicktes Erweitern vermeiden. Hierzu schreibst du die Wurzel als Potenz und erweiterst anschließend den Bruch so, dass der Exponent im Nenner ganzzahlig wird.
1 3 5 = 3 4 5 3
Als Erweiterungsfaktor wählst du die Potenz von 3, die multipliziert mit dem Nenner 3 1 5 die rationale Zahl 3 1 = 3 ergibt:
 
kem T PGrExrEx 9 Potenzgesetze für Potenzen mit rationalem Exponenten

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