Lösen von Gleichungen durch Probieren

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Hier erfährst du, wie du Gleichungen durch Probieren löst und wie du überprüfst, ob eine gegebene Zahl Lösung einer Gleichung ist. In einer Gleichung, die eine Variable enthält, kannst du die Variable durch Zahlen ersetzen. Dabei entsteht entweder eine wahre oder eine falsche Aussage. Eine Gleichung lösen heißt, alle die Zahlen aus der Grundmenge zu finden, die beim Einsetzen die Gleichung zu einer wahren Aussage machen. Die Menge aller Lösungen heißt Lösungsmenge der Gleichung.

Lösen der Ergänzungsaufgabe

Eine einfache Gleichung mit einer Variablen kannst du lösen, indem du sie als Ergänzungsaufgabe betrachtest.
47 + x = 73
Lösen der Ergänzungsaufgabe
Du überlegst, wie viel du auf der linken Seite ergänzen musst, damit das Ergebnis auf der rechten Seite entsteht.
47 + 26 = 73
Angeben der Lösungsmenge
x = 26
 
L = {26}

Lösung einer Gleichung überprüfen

In manchen Aufgaben kommt es vor, dass du zu einer Gleichung mehrere Zahlen vorgegeben bekommst und nun entscheiden sollst, welche Zahl eine Lösung der Gleichung ist.Du setzt die vorgegebenen Zahlen für x in die Gleichung ein und berechnest die Terme auf beiden Seiten der Gleichung. Eine Zahl ist nur dann eine Lösung der Gleichung, wenn durch Einsetzen der Zahl eine wahre Aussage entsteht.
Welche Zahl ist Lösung der Gleichung 2 x + 24 = 46 ?
 
Wähle aus:kem LGuU LGuULGLProb 1 Lösen von Gleichungen durch Probieren
Termwerte berechnen
Du berechnest die Termwerte und beachtest dabei die bekannten Rechenregeln (Klammer- vor Punkt- vor Strichrechnung).
2 * 10 + 24 = 44 2 * 11 + 24 = 46 2 * 12 + 24 = 48
überprüfen des Wahrheitsgehaltes
Du vergleichst die Termwerte auf beiden Seiten der Gleichung.
kem LGuU LGuULGLProb 2 Lösen von Gleichungen durch Probierenkem LGuU LGuULGLProb 3 Lösen von Gleichungen durch Probierenkem LGuU LGuULGLProb 4 Lösen von Gleichungen durch Probieren
Angabe der Lösungsmenge
Nur beim Einsetzen von 11 entsteht eine wahre Aussage, also ist x = 11 die Lösung der Gleichung 2 x + 24 = 46 .L = {11}
kem LGuU LGuULGLProb 5 Lösen von Gleichungen durch Probieren
Entscheide, ob folgende Aussage wahr oder falsch ist:
 
Die Gleichung 30 + 3 x = 48 wird von x = 6 gelöst.kem LGuU LGuULGLProb 6 Lösen von Gleichungen durch Probieren
Aussage beurteilen
Durch Einsetzen von 6 an Stelle von x erhältst du: kem LGuU LGuULGLProb 7 Lösen von Gleichungen durch Probieren
kem LGuU LGuULGLProb 8 Lösen von Gleichungen durch Probieren
Entscheide, ob folgende Aussage wahr oder falsch ist:
 
Die Gleichung 3 x + 2 = 2 x + 4 wird von x = 3 gelöst.kem LGuU LGuULGLProb 9 Lösen von Gleichungen durch Probieren
Aussage beurteilen
Durch Einsetzen von 3 an Stelle von x erhältst du: kem LGuU LGuULGLProb 10 Lösen von Gleichungen durch Probieren
 
Da 11 ungleich 10 ist, ist die Aussage, dass 3 die Lösung der Gleichung 3 x + 2 = 2 x + 4 ist, falsch.
kem LGuU LGuULGLProb 11 Lösen von Gleichungen durch Probieren

Lösen von Gleichungen mit Angabe einer Grundmenge

Oft ist man bei Gleichungen nur an Lösungen interessiert, die zu bestimmten Zahlenmengen gehören, z. B. den natürlichen Zahlen, wenn es um die Anzahl von Personen geht. Diese oft mit der Aufgabe zusammen vorgegebene Zahlenmenge nennt man Grundmenge.Enthält die Grundmenge nur wenige Elemente, ist es möglich, alle Elemente nacheinander in die Gleichung einzusetzen und die entstehenden Aussagen auf ihren Wahrheitsgehalt hin zu überprüfen.
Finde alle Lösungen von 7 x + 8 = 36 aus der Grundmenge {2; 5; 7; 9} und gib die Lösungsmenge L an.
Wertetabelle aufstellen
Du stellst eine Wertetabelle auf und berechnest die Termwerte der linken und rechten Seite indem du jeweils die Werte aus der Grundmenge für x einsetzt. In diesem Beispiel ist der Wert auf der rechten Seite immer 36.
kem LGuU LGuULGLProb 12 Lösen von Gleichungen durch Probieren
Bestimmen der Lösungsmenge
Da sich für kein Element der Grundmenge auf der linken und rechten Seite der Gleichung derselbe Wert ergibt, ist die Lösungsmenge leer.
L = {}
Finde alle Lösungen von 2 x + 3 = 2 2 + x - 1 aus der Grundmenge {2; 5; 7; 9} und gib dann die Lösungsmenge L an.
Wertetabelle aufstellen
Du stellst eine Wertetabelle auf und berechnest die Termwerte der linken und rechten Seite indem du jeweils die Werte aus der Grundmenge für x einsetzt.
kem LGuU LGuULGLProb 13 Lösen von Gleichungen durch Probieren
Bestimmen der Lösungsmenge
Da sich für alle Elemente der Grundmenge auf der linken und rechten Seite der Gleichung dieselben Werte ergeben, ist die Lösungsmenge gleich der gesamten Grundmenge.
L = {2; 5; 7; 9}

Gleichung lösen durch Probieren

Einfache Gleichungen kannst du häufig durch Probieren lösen. Oft siehst du die Lösung sofort oder findest sie nach wenigen Versuchen.Bei längeren Gleichungen ist es hilfreich, systematisch zu probieren, sich also vorher genauer zu überlegen, wie groß die Lösung sein könnte.
kem LGuU LGuULGLProb 14 Lösen von Gleichungen durch Probieren
 
Für welche natürliche Zahl steht x?
Gleichung aufstellen
Der Pfeil beginnt bei x, zeigt nach rechts und ist mit 5 beschriftet. Es wird also zum Term x die 5 addiert: x + 5. Die Pfeilspitze zeigt auf 8.
x + 5 = 8
Lösen der Gleichung
Du siehst, dass x links von der 8 steht, also muss x kleiner sein als 8. Die um 5 kleinere Zahl zu 8 ist 3.
x = 3
kem LGuU LGuULGLProb 15 Lösen von Gleichungen durch Probieren
 
Für welche natürliche Zahl steht x?
Gleichung aufstellen
Der Pfeil beginnt bei 24, zeigt nach links und ist mit x beschriftet. Es wird also von 24 der Term x subtrahiert: 24 – x. Die Pfeilspitze zeigt auf 9.
24 - x = 9
Lösen der Gleichung
Du überlegst, wie viel du von 24 abziehen musst, um 9 zu erhalten.
x = 15

Gleichung lösen durch systematisches Probieren

Bei einigen Gleichungen ist es hilfreich, systematisch zu probieren, sich also vorher genau zu überlegen, wie groß die Lösung sein könnte.
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung 3 x - 6 = 75 in der Grundmenge ℤ.
Erster Lösungsversuch
Für den ersten Lösungsversuch hast du mehrere Möglichkeiten, dich für eine Zahl zu entscheiden. Hier bietet es sich an, eine überschlagsrechnung zu machen: 3 * 20 - 6 = 54 3 * 30 - 6 = 84 Da 75 zwischen 54 und 84 liegt, muss x zwischen 20 und 30 liegen.Jetzt könntest du dich Schritt für Schritt von 20 aufwärts oder von 30 abwärts an die Lösung herantasten, eine schnellere Methode ist es aber, das Intervall bei jedem Schritt zu halbieren.In der Mitte zwischen 20 und 30 liegt 25.
x = 25
überprüfen der Lösung
x = 25 ist also keine Lösung der Gleichung.
3 * 25 - 6 = 69
Zweiter Lösungsversuch
Für x = 25 erhält man auf der rechten Seite 69. Da 69 kleiner ist als 75, muss auch 25 zu klein sein, denn der Termwert auf der linken Seite wird größer, wenn x größer wird.Du halbierst nun also das „obere“ Intervall [25; 30] und rundest auf eine ganze Zahl, denn der Grundbereich ist ℤ.
x = 28
überprüfen der Lösung
x = 28 ist also keine Lösung der Gleichung.
3 * 28 - 6 = 78
Dritter Lösungsversuch
78 ist größer als 75, also war x nun zu groß gewählt. Du wählst x im nächsten Versuch kleiner als 28.
x = 27
überprüfen der Lösung
x = 27 ist die Lösung der Gleichung.Wenn dieser Versuch immer noch nicht zur Lösung geführt hätte, könntest du das Halbierungsverfahren weiter fortsetzen. Du musst dabei aber immer auf die angegebene Grundmenge achten.
3 * 27 - 6 = 75
Angabe der Lösungsmenge
27 gehört zur Grundmenge (Menge der ganzen Zahlen ℤ). Bis jetzt weißt du noch nicht, ob es noch andere Lösungen der Gleichung gibt. Während der drei Lösungsversuche hast du schon zwei Elemente der Grundmenge untersucht und festgestellt, dass sie keine Lösungen der Gleichung sind, aber was ist mit den anderen Elementen der Grundmenge?Im Zusammenhang mit dem Lösen von Gleichungen mit äquivalenzumformungen lernst du: Eine lineare Gleichung hat entweder keine Lösung, genau eine Lösung oder die gesamte Grundmenge als Lösung.
L = {27}

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