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Lagebeziehungen von Geraden

Lineare Funktionen

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du anhand der Geradengleichungen entscheiden kannst, welche Lagebeziehung zwei Geraden zueinander haben.
Inhaltsverzeichnis
 

Parallele Geraden

Parallele Geraden haben keinen Schnittpunkt. Der Abstand zweier paralleler Geraden ist überall gleich, denn parallele Geraden haben dieselbe Steigung.
 

media/kem_FuD_FuDLFLaBez_1.jpg
Zeichne die Parallele h zur Geraden g durch den Punkt P.
 

media/kem_FuD_FuDLFLaBez_2.jpg
Parallele zeichnen
Du ermittelst die Steigung der Geraden g ( m = 3 ) und trägst diese Steigung am Punkt P an.
Du kannst dazu ein Steigungsdreieck einzeichnen.
 

media/kem_FuD_FuDLFLaBez_3.jpg
media/kem_FuD_FuDLFLaBez_4.jpg
Vervollständige die Gleichung der Geraden h so, dass die Geraden g und h parallel sind.
h: y = __ x + 2
 

media/kem_FuD_FuDLFLaBez_5.jpg
Steigung der Geraden g bestimmen
media/kem_FuD_FuDLFLaBez_6.jpg
 

Am Steigungsdreieck kannst du ablesen, dass die Gerade g die Steigung m = - 2 3 hat.
m g = - 2 3
Geradengleichung für h vervollständigen
Parallele Geraden haben dieselbe Steigung
 

media/kem_FuD_FuDLFLaBez_7.jpg
h: y = - 2 3 x + 2
 

 

Senkrechte Geraden

Zueinander senkrechte Geraden schneiden sich einem Winkel von 90 ° .
Sind die Geraden g und h senkrecht zueinander, dann gilt für die Steigungen m g und m h :
m g = - 1 m h
 

media/kem_FuD_FuDLFLaBez_8.jpg
m g = 1 3
m h = -3
Zeichne die Senkrechte h zur Geraden g durch den Punkt P.
 

media/kem_FuD_FuDLFLaBez_9.jpg
Senkrechte zeichnen
Du ermittelst die Steigung der Geraden g ( m g = -2 )) und bestimmst damit die Steigung der Senkrechten h:
m h = - 1 -2 = 1 2
 

Diese Steigung trägst du am Punkt P an.
Du kannst dazu ein Steigungsdreieck einzeichnen.
 

media/kem_FuD_FuDLFLaBez_10.jpg
media/kem_FuD_FuDLFLaBez_11.jpg
Vervollständige die Gleichung der Geraden h so, dass die Geraden g und h senkrecht aufeinander stehen.
 

h: y = __ x - 2
 

media/kem_FuD_FuDLFLaBez_12.jpg
Steigung der Geraden g bestimmen
media/kem_FuD_FuDLFLaBez_13.jpg
 

Am Steigungsdreieck kannst du ablesen, dass die Gerade g die Steigung m = - 2 3 hat.
m g = - 2 3
Geradengleichung für h vervollständigen
media/kem_FuD_FuDLFLaBez_14.jpg
h: y = 3 2 x - 2
 

Spiegeln von Geraden an den Koordinatenachsen

Bei einer Spiegelung an der y-Achse wird jeder Punkt (x|y) auf den Punkt (-x|y) abgebildet.
Spiegelst du eine Gerade g mit y = m g x + b g an der y-Achse, so erhältst du die Bildgerade h
mit der Gleichung y = m h x + b h .
 

Für die Steigungen gilt:
 

m h = - m g
 

Für die y-Achsenabschnitte gilt:
 

b h = b g
 

media/kem_FuD_FuDLFLaBez_15.jpg
Die Gerade g wird an der y-Achse gespiegelt. Gib die Gleichung der Bildgeraden h an.
 

media/kem_FuD_FuDLFLaBez_16.jpg
Gleichung für Gerade h ermitteln
Du ermittelst die Steigung der Geraden g ( m g = -2 ) und bestimmst damit die Steigung der Bildgeraden g‘.
 

m g = - -2 = 2
 

Diese Steigung trägst du am Schnittpunkt mit der y-Achse 0 | 3 an.
Du kannst dazu ein Steigungsdreieck einzeichnen.
 

media/kem_FuD_FuDLFLaBez_17.jpg
g‘: y = 2 x + 3

 

Bei einer Spiegelung an der x-Achse wird jeder Punkt (x|y) auf den Punkt (x|-y) abgebildet.
Spiegelst du eine Gerade g mit y = m g x + b g an der x-Achse, so erhältst du die Bildgerade h
mit der Gleichung y = m h x + b h .
 

Für die Steigungen gilt:
 

m h = - m g
 

Für die y-Achsenabschnitte gilt:
 

b h = - b g
 

media/kem_FuD_FuDLFLaBez_18.jpg
Die Gerade g wird an der x-Achse gespiegelt. Gib die Gleichung der Bildgeraden h an.
 

media/kem_FuD_FuDLFLaBez_19.jpg
Gleichung für Gerade h ermitteln
Du ermittelst die Steigung der Geraden g ( m g = -2 ) und bestimmst damit die Steigung der Bildgeraden g‘.
 

m g = - -2 = 2
 

Ebenso bestimmst du den y-Achsenabschnitt der Geraden g´.
 

b g = - b g = -3
 

Die Steigung trägst du anschließend am Schnittpunkt mit der y-Achse (0|-3) an.
Du kannst dazu ein Steigungsdreieck einzeichnen.
 

media/kem_FuD_FuDLFLaBez_20.jpg
g‘: y = -2 x - 3
 

Lagebeziehungen zweier Geraden ermitteln

Um die Lagebeziehung zweier Geraden g und h zu bestimmen, musst du die Geraden nicht in ein Koordinatensystem einzeichnen. Es reicht die Betrachtung der Geradengleichungen in Normalform.
Für die Geraden g und h mit den Gleichungen ( y = m g x + b g ) bzw. ( y = m h x + b h ) gilt:
 

m g = m h und b g b h media/kem_FuD_FuDLFLaBez_21.jpg Geraden g und h sind parallel.
 

m g = - 1 m h media/kem_FuD_FuDLFLaBez_22.jpg Geraden g und h stehen senkrecht aufeinander.
 

m g = - m h und b g = b h media/kem_FuD_FuDLFLaBez_23.jpg Geraden sind Spiegelbilder voneinander mit der y-Achse als Spiegelachse.
 

m g = - m h und b g = - b h media/kem_FuD_FuDLFLaBez_24.jpg Geraden sind Spiegelbilder voneinander mit der x-Achse als Spiegelachse.
Gegeben sind die Geradengleichungen der Geraden f, g, h und k. Wie liegen diese Geraden zueinander?
 

f: y = 1 2 x + 1
 

g: y = - 1 2 x - 1
 

h: y = - 1 2 x + 1
 

k: y = -2 x + 5
 

Lagebeziehungen ermitteln
media/kem_FuD_FuDLFLaBez_25.jpg
Die Geraden f und g liegen spiegelsymmetrisch bezüglich der x-Achse.
 

Die Geraden fund h liegen spiegelsymmetrisch bezüglich der y-Achse.
 

Die Geraden g und h sind parallel zueinander.
 

Die Geraden f und k stehen senkrecht aufeinander.
 
Mehr über Lineare Funktionen
 
Mathe-Portal » Mathebuch » Funktionen und ihre Darstellungen » Lagebeziehungen von Geraden

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