Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Online Mathe üben

Hier lernst du die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung wie Zufallsexperiment, Ergebnis und Ereignis kennen. Außerdem erfährst du hier, wie du mögliche Ergebnisse von Zufallsexperimenten mit Hilfe von Baumdiagrammen darstellen kannst.

Erkennen von Zufallsexperimenten

Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, der mehr als einen möglichen Ausgang (ein sogenanntes Ergebnis) haben kann. Dabei kann aber nicht vorausgesagt werden, welches Ergebnis das Zufallsexperiment haben wird.
Münzwurf
 
kem StochW StochWGLGB 1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
 
Das Werfen einer Münze ist ein Zufallsexperiment, da sowohl Kopf als auch Zahl erscheinen können. Es kann jedoch nicht vorhergesagt werden, ob Kopf oder Zahl erscheinen wird.
Würfeln
 
kem StochW StochWGLGB 2 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
 
Das Werfen eines mit den Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 beschrifteten Würfels ist ein Zufallsexperiment, da jede der genannten Ziffern als Ergebnis erscheinen kann. Es kann jedoch nicht vorhergesagt werden, welche der sechs Ziffern erscheinen wird.
Zufallsexperimente erkennen
 
Welche der folgenden Vorgänge sind Zufallsexperimente bzw. welche der beschriebenen Ereignisse sind zufällig?
Zufall erkennen
Es kann nicht vorhergesagt werden, welche der 32 Karten nach dem Mischen die dreizehnte Karte von oben ist. Es handelt sich also um ein Zufallsexperiment.
 
Jede gewürfelte Augenzahl ist entweder gerade ({2; 4; 6}) oder ungerade ({1; 3; 5}). Somit ist das Werfen einer geraden oder ungeraden Zahl kein zufälliges Ereignis, es tritt in jedem Fall ein.
 
Auch wenn eine Münze 10-mal geworfen wurde und jedes Mal „Kopf“ erschien, kann beim nächsten Münzwurf entweder „Kopf“ oder „Zahl“ erscheinen und nicht notwendigerweise „Zahl“. Es handelt sich also um ein Zufallsexperiment.
 
Die Innenwinkelsumme ist in JEDEM Dreieck gleich 180°. Somit ist das Bestimmen der Innenwinkelsumme in einem zufällig gewählten Dreieck kein Zufallsexperiment.
kem StochW StochWGLGB 3 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Ergebnis – Ereignis – Ergebnismenge

Die möglichen Ausgänge eines Zufallsexperimentes nennt man Ergebnisse.
 
Wenn man alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperimentes in einer Menge zusammenfasst, erhält man die Ergebnismenge. Sie wird üblicherweise mit dem Symbol Ω (sprich Omega) bezeichnet.
 
Jede Zusammenfassung von einem oder mehreren Ergebnissen eines Zufallsexperimentes in einer Menge nennt man Ereignis.
 
Es gibt außerdem noch das sogenannte „unmögliche Ereignis“, das keinerlei Ergebnis enthält. Dies wird im folgenden Abschnitt behandelt.
Ergebnisse, Ereignisse und Ergebnismenge beim Würfel
 
kem StochW StochWGLGB 4 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
 
Das Werfen eines Würfels ist ein Zufallsexperiment.
 
Jede der möglichen Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 ist ein Ergebnis.
 
Die Ergebnismenge ist die Zusammenfassung aller möglichen Ergebnisse in einer Menge. Beim Würfeln ist also Ω= {1; 2; 3; 4; 5; 6} die Ergebnismenge.
 
Ein mögliches Ereignis ist zum Beispiel „Würfel zeigt eine gerade Zahl“ und wird durch die Menge {2; 4; 6} dargestellt.
Die Ergebnisse eines Zufallsexperimentes
 
Was ist ein mögliches Ergebnis beim einmaligen Werfen eines Würfels mit dem abgebildeten Würfelnetz?
 
kem StochW StochWGLGB 5 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Ergebnisse zuordnen
Du kannst die Farben oder die Ziffern oder Kombinationen aus Farben und Ziffern als mögliche Ergebnisse betrachten.
 
Wenn du die Farben als Ergebnisse betrachtest, sind Grün, Rot und Blau mögliche Ergebnisse.
 
Wenn du die Ziffern als Ergebnisse betrachtest, sind 0, 1 und 2 mögliche Ergebnisse.
 
Wenn du die Kombinationen aus Ziffern und Farben als Ergebnisse betrachtest, sind (Blau; 0), (Rot; 1), (Rot; 2) und (Grün; 1) mögliche Ergebnisse.
 
Beachte, dass zum Beispiel {0; 1; 2}, {Rot; Grün} oder {(Rot; 1)} Zusammenfassungen von einem bzw. mehreren Ergebnissen zu Mengen und somit Ereignisse sind.Dabei spielt es keine Rolle, ob in solch einer Zusammenfassung nur ein einziges Ergebnis enthalten ist.
kem StochW StochWGLGB 6 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Die Ergebnismenge beim Münzwurf
 
Beim Münzwurf können die Ergebnisse Kopf (K) oder Zahl (Z) erscheinen. Somit ist die Ergebnismenge Ω = {K; Z}.
 
kem StochW StochWGLGB 7 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Welche der angegebenen Mengen ist eine Ergebnismenge für das Ziehen einer Kugel aus der abgebildeten Urne?
 
kem StochW StochWGLGB 8 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Ergebnismenge zuordnen
Die Ergebnismenge besteht aus allen möglichen Ergebnissen des Zufallsexperimentes „Ziehen einer Kugel aus der abgebildeten Urne‟.
 
Du kannst die Farben oder die Ziffern als mögliche Ergebnisse betrachten.
 
Wenn du die Ziffern als Ergebnisse betrachtest, ist die Ergebnismenge Ω = {0; 1; 2; 4; 5}.Wenn du die Farben als Ergebnisse betrachtest, ist die Ergebnismenge Ω = {Rot; Grün; Blau}.
 
Beide Mengen kommen in der Auswahl vor.
kem StochW StochWGLGB 9 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Ereignisse beim Würfeln
 
Ein Würfel mit den Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 wird einmal geworfen. Das Ereignis E – „Eine Zahl kleiner als 3 wird gewürfelt ‟ – besteht aus den Ergebnissen 1 und 2. üblicherweise schreibt man ein solches Ereignis als Menge:
 
E = {1; 2}.
Jede Zusammenfassung von einem oder mehreren Ergebnissen eines Zufallsexperimentes in einer Menge nennt man Ereignis.
Ein Würfel mit den Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 wird einmal geworfen. Bestimme die zum gegebenen Ereignis E gehörigen Ergebnisse.
 
E ist das Ereignis „Eine ungerade Zahl wird gewürfelt ‟.
 
Ziehe die zum Ereignis gehörigen Ergebnisse in den markierten Bereich.
Ereignis bestimmen
Alle ungeraden Augenzahlen sind Ergebnisse, die zum Ereignis „Eine ungerade Zahl wird gewürfelt ‟ gehören.Du ziehst also 1, 3 und 5 in den markierten Bereich.
kem StochW StochWGLGB 10 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
 
kem StochW StochWGLGB 11 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnungkem StochW StochWGLGB 12 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnungkem StochW StochWGLGB 13 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Sichere und unmögliche Ereignisse sowie Gegenereignisse

Zu jedem Ereignis E eines Zufallsexperimentes gibt es das sogenannte Gegenereignis E ¯ . Es besteht aus all denjenigen möglichen Ergebnissen des Zufallsexperimentes, die nicht zu E gehören.
 
Die Ergebnismenge Ω ist die Zusammenfassung aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperimentes. Sie ist somit ebenfalls ein Ereignis. Da dieses Ereignis immer eintritt, nennt man dieses Ereignis auch sicheres Ereignis.
 
Das Gegenereignis zum sicheren Ereignis zeichnet sich durch die Abwesenheit möglicher Ergebnisse eines Zufallsexperimentes aus. Es ist also die leere Menge und wird mit bzw. { } bezeichnet. Man nennt ∅ bzw. { } das unmögliche Ereignis.
Ein Würfel mit den Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 wird einmal geworfen. Weiterhin sei E das Ereignis „Eine Zahl größer oder gleich 3 wird gewürfelt“.
 
Das heißt, es ist E = {3; 4; 5; 6}.
 
Dann besteht das zu E gehörige Gegenereignis E ¯ aus denjenigen Augenzahlen, die nicht zu E gehören. Somit gilt E ¯ = {1; 2}.
Ein Würfel mit den Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 wird einmal geworfen. Bestimme das Gegenereignis E ¯ zum gegebenen Ereignis E „Keine 4 wird gewürfelt“.
 
kem StochW StochWGLGB 14 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Gegenereignis bestimmen
Du wählst alle diejenigen Ergebnisse der Ergebnismenge aus, die nicht zu E gehören.Dies ist aber nur ein Ergebnis, und zwar das Ergebnis 4.
kem StochW StochWGLGB 15 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
 
kem StochW StochWGLGB 16 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnungkem StochW StochWGLGB 17 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnungkem StochW StochWGLGB 18 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnungkem StochW StochWGLGB 19 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnungkem StochW StochWGLGB 20 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Ein Würfel mit den Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 wird einmal geworfen. Weiterhin sei E das Ereignis „Eine positive Zahl wird gewürfelt ‟. Dann ist E das sichere Ereignis, denn jede würfelbare Augenzahl ist positiv.Das heißt, es ist E = {1; 2; 3; 4; 5; 6} = Ω.
kem StochW StochWGLGB 21 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
 
Es werden 2 Kugeln ohne Zurücklegen aus der abgebildeten Urne gezogen und E ist das Ereignis „Mindestens eine der Kugeln ist rot oder blau ‟.Entscheide, ob das beschriebene Ereignis E sicher, unmöglich oder zufällig ist.
Ereignisart bestimmen
Das Ereignis ist sicher, da die gelbe Kugel nur einmal vorkommt und die gezogenen Kugeln nicht zurückgelegt werden.
 
Somit muss bei zwei gezogenen Kugeln immer eine dabei sein, die nicht gelb, also rot oder blau ist.
kem StochW StochWGLGB 22 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
kem StochW StochWGLGB 23 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
 
Es werden 2 Kugeln ohne Zurücklegen aus der abgebildeten Urne gezogen und E ist das Ereignis „Beide Kugeln sind gelb ‟.Entscheide, ob das beschriebene Ereignis E sicher, unmöglich oder zufällig ist.
Ereignisart bestimmen
Das Ereignis ist unmöglich, da die gelbe Kugel nur einmal vorkommt und die gezogenen Kugeln nicht zurückgelegt werden.
kem StochW StochWGLGB 24 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehrstufige Zufallsexperimente und Baumdiagramme

Wenn mehrere Zufallsexperimente nacheinander durchgeführt werden, spricht man von einem mehrstufigen Zufallsexperiment. Zwei- bzw. dreistufige Zufallsexperimente können sehr gut mit Hilfe von Baumdiagrammen (kurz: Bäumen) dargestellt werden, sofern die einzelnen Teilexperimente nicht zu viele Ergebnisse haben.
 
Der Aufbau eines Baumdiagramms, das zu einem mehrstufigen Zufallsexperiment gehört, wird hier anhand einiger Beispiele erklärt:
Zweifacher Münzwurf
 
Beim zweifachen Münzwurf können bei jedem Teilexperiment die Ergebnisse Kopf (K) oder Zahl (Z) erscheinen.
 
Ein Baumdiagramm hat immer einen Startknoten. Dieser Startknoten wird auch Wurzel bzw. Wurzelknoten des Baumdiagramms genannt. Die vom Startknoten ausgehenden Zweige führen zu den Knoten, die den möglichen Ergebnissen des ersten Teilexperimentes „Werfen einer Münze ‟ entsprechen:K und Z. kem StochW StochWGLGB 25 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
 
In gleicher Weise gehen von den Knoten, die die Ergebnisse des ersten Teilexperimentes darstellen, diejenigen Zweige aus, die nun zu den möglichen Ergebnissen des zweiten Teilexperimentes „Nochmaliges Werfen einer Münze“ führen:K und Z.
 
Die Reihenfolge der Zweige bzw. Knoten spielt dabei keine Rolle.Es gibt also mehrere korrekte Baumdiagramme, die das Zufallsexperiment beschreiben.Ein möglicher Baum ist zum Beispiel:kem StochW StochWGLGB 26 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Ein anderer möglicher Baum ist zum Beispiel dieser:kem StochW StochWGLGB 27 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
 
Endknoten bzw. Blätter eines Baumdiagramms heißen diejenigen Knoten, die die möglichen Ergebnisse des letzten Teilexperimentes eines mehrstufigen Zufallsexperimentes darstellen.
 
Zu jedem Endknoten führt vom Startknoten ausgehend eine Kette von Zweigen – ein sogenannter Pfad.
 
Jeder Pfad entspricht einem möglichen Ergebnis des mehrstufigen Zufallsexperimentes.
 
Oft schreibt man daher neben jedem Endknoten das zum Pfad gehörige Ergebnis. Bei weitergehenden Berechnungen trägt man oft nur die zu einem bestimmten Ereignis gehörigen Ergebnisse ein.
 
In unserem Beispiel sieht ein vollständiges Baumdiagramm für das zweimalige Werfen einer Münze einschließlich aller Ergebnisse wie folgt aus:kem StochW StochWGLGB 28 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
 
Beachte hierbei auch die Schreibweise der Ergebnisse als geordnete Paare. Oft schreibt man die Ergebnisse auch einfach als Verkettung von geeigneten Buchstaben wie zum Beispiel „ZK ‟ für „Erster Wurf zeigt Zahl – zweiter Wurf zeigt Kopf ‟.
 
Wenn man sich nur für die zum Ereignis E „Es erscheint Kopf genau einmal ‟ gehörigen Ergebnisse interessiert, sieht das Baumdiagramm wie folgt aus: kem StochW StochWGLGB 29 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Zwei Glücksräder
 
Die beiden abgebildeten Glücksräder werden jeweils einmal gedreht. Zuerst wird das linke, dann das rechte Glücksrad gedreht. Die Farben werden in der Reihenfolge der Drehungen notiert.kem StochW StochWGLGB 30 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnungkem StochW StochWGLGB 31 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
 
Die vom Startknoten ausgehenden Zweige führen zu den Knoten, die den möglichen Ergebnissen des ersten Teilexperimentes „Drehen am linken Glücksrad ‟ entsprechen:kem StochW StochWGLGB 32 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und kem StochW StochWGLGB 33 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung.kem StochW StochWGLGB 34 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
 
In gleicher Weise gehen von den Knoten, die die Ergebnisse des ersten Teilexperimentes darstellen, diejenigen Zweige aus, die nun zu den möglichen Ergebnissen des zweiten Teilexperimentes „Drehen am rechten Glücksrad ‟ führen:kem StochW StochWGLGB 35 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und kem StochW StochWGLGB 36 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
 
Die Reihenfolge der Zweige bzw. Knoten spielt dabei keine Rolle.Es gibt also mehrere korrekte Baumdiagramme, die das Zufallsexperiment beschreiben.Ein möglicher Baum ist zum Beispielkem StochW StochWGLGB 37 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Ein weiteres korrektes Baumdiagramm ist folgendes:kem StochW StochWGLGB 38 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
 
Wiederum kann neben den Endknoten des Baumdiagramms das zum jeweiligen Pfad gehörige Ergebnis des mehrstufigen Zufallsexperimentes ergänzt werden.
 
In unserem Beispiel sieht ein vollständiges Baumdiagramm für das Drehen am linken Glücksrad mit darauffolgendem Drehen am rechten Glücksrad einschließlich aller Ergebnisse wie folgt aus:kem StochW StochWGLGB 39 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Statt die Knoten und Ergebnisse entsprechend zu färben, kann man zum Beispiel auch die Anfangsbuchstaben der Farben als Markierungen der Knoten und Ergebnisse wählen. In unserem Fall (R – Rot, G – Gelb, B – Blau) würde ein zugehöriges Baumdiagramm so aussehen:kem StochW StochWGLGB 40 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
 
Beachte hierbei auch die Schreibweise der Ergebnisse als Verkettungen der Anfangsbuchstaben der Farben. Man hätte die Ergebnisse auch als geordnete Paare der Anfangsbuchstaben der Farben angeben können. (R; G) wäre dann das Ergebnis „Linkes Glücksrad bleibt auf Rot stehen – Rechtes Glücksrad bleibt auf Gelb stehen.“
 
Wiederum trägt man bei weitergehenden Berechnungen oft nur die zu einem bestimmten Ereignis gehörigen Ergebnisse ein.
 
Wenn man sich nur für die zum Ereignis E „Es erscheint die Farbe Gelb genau einmal ‟ gehörigen Ergebnisse interessiert, sähe das Baumdiagramm wie folgt aus:
 
kem StochW StochWGLGB 41 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Welche Zufallsexperimente passen zum angegebenen Baumdiagramm?
 
kem StochW StochWGLGB 42 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Zufallsexperiment zuordnen
Alle anderen Zufallsexperimente können mindestens eines der beiden Ergebnisse kem StochW StochWGLGB 43 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnungkem StochW StochWGLGB 44 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung bzw. kem StochW StochWGLGB 45 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnungkem StochW StochWGLGB 46 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung als Ausgang haben. Diese kommen aber im Baumdiagramm nicht vor.
kem StochW StochWGLGB 47 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Das abgebildete Glücksrad wird zweimal gedreht.kem StochW StochWGLGB 48 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
 
Vervollständige das Baumdiagramm und ordne die zum Ereignis E „Es wird zweimal dieselbe Farbe gedreht ‟ gehörigen Ergebnisse den entsprechenden Endknoten zu.kem StochW StochWGLGB 49 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Baumdiagramm ergänzen
Die vom Startknoten ausgehenden Zweige führen zu den Knoten, die den möglichen Ergebnissen des ersten Teilexperimentes „Drehen am abgebildeten Glücksrad ‟ entsprechen:kem StochW StochWGLGB 50 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und kem StochW StochWGLGB 51 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
 
In gleicher Weise gehen von den Knoten, die die Ergebnisse des ersten Teilexperimentes darstellen, diejenigen Zweige aus, die nun zu den möglichen Ergebnissen des zweiten Teilexperimentes „Nochmaliges Drehen des abgebildeten Glücksrades“ führen:kem StochW StochWGLGB 52 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und kem StochW StochWGLGB 53 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
kem StochW StochWGLGB 54 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Ergebnisse zuordnen
Du ziehst alle diejenigen Ergebnisse an die entsprechenden Positionen im Baumdiagramm, die zu dem Ereignis E – „Es wird zweimal dieselbe Farbe gedreht ‟ – gehören:kem StochW StochWGLGB 55 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnungkem StochW StochWGLGB 56 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung; kem StochW StochWGLGB 57 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnungkem StochW StochWGLGB 58 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Ziehe nun die zum Ereignis E – „Es wird zweimal dieselbe Farbe gedreht“ – gehörigen Ergebnisse an die entsprechenden Endknoten.
 
kem StochW StochWGLGB 59 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Aus der abgebildeten Urne werden nacheinander zwei Kugeln gezogen, ohne sie zurückzulegen. kem StochW StochWGLGB 60 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
 
Konstruiere ein zum beschriebenen Zufallsexperiment gehöriges Baumdiagramm. Färbe dabei auch die Knoten entsprechend.
Baumdiagramm konstruieren
Die vom Startknoten ausgehenden Zweige führen zu den Knoten, die den möglichen Ergebnissen des ersten Teilexperimentes „Ziehen einer Kugel aus der abgebildeten Urne ‟ entsprechen:kem StochW StochWGLGB 61 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und kem StochW StochWGLGB 62 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
 
Dabei spielt die Reihenfolge der Zweige bzw. Knoten keine Rolle.kem StochW StochWGLGB 63 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
 
In gleicher Weise gehen von den Knoten, die die Ergebnisse des ersten Teilexperimentes darstellen, diejenigen Zweige aus, die nun zu den möglichen Ergebnissen des zweiten Teilexperimentes „Nochmaliges Ziehen einer Kugel aus der Urne ‟ führen.
 
Da es nur eine schwarze Kugel gibt und die gezogenen Kugeln nicht zurückgelegt werden, hängen die möglichen Ergebnisse des zweiten Teilexperimentes davon ab, welche Farbe die zuerst gezogene Kugel hat:
 
Erste Kugel hat Farbe kem StochW StochWGLGB 64 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung:Mögliches Ergebnis des zweiten Teilexperimentes: kem StochW StochWGLGB 65 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
 
Erste Kugel hat Farbe kem StochW StochWGLGB 66 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung:Mögliche Ergebnisse des zweiten Teilexperimentes: kem StochW StochWGLGB 67 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und kem StochW StochWGLGB 68 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
kem StochW StochWGLGB 69 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Online Mathe üben!