Gleichsetzungsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme

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Hier erfährst du, wie du mit dem Gleichsetzungsverfahren lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen lösen kannst.

Lösen von linearen Gleichungssystemen

Du kannst zum Lösen von Gleichungssystemen mit zwei linearen Gleichungen das Gleichsetzungsverfahren nutzen.
 
Ziel dieses Verfahrens ist, eine Gleichung zu erhalten, die nur noch eine Variable enthält.
Wenn bei beiden Gleichungen auf der einen Seite der Gleichung nur die gleiche Variable steht, kannst du die beiden Terme auf der anderen Seite der Gleichung gleichsetzen.
 
Löse folgendes Gleichungssystem in ℚ:
 
kem LGuU LGuUELGSGsv 1 Gleichsetzungsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
Terme gleichsetzen
Auf der linken Seite steht jeweils nur y . Du setzt die Terme 6 + 6 x und 2 x - 2 gleich.
 
Du erhältst eine neue Gleichung mit nur einer Variablen ( x ).
kem LGuU LGuUELGSGsv 2 Gleichsetzungsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
Anzahl der Lösungen bestimmen
Du löst die Gleichung 6 + 6 x = 2 x - 2 nach x auf:
 
kem LGuU LGuUELGSGsv 3 Gleichsetzungsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
 
Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung, da du für x einen eindeutigen Wert erhältst.
Wie viele Lösungen hat das Gleichungssystem in ℚ?
 
kem LGuU LGuUELGSGsv 4 Gleichsetzungsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
Lösungen berechnen
Du hast x bereits im vorigen Schritt berechnet. Um y zu berechnen, setzt du x = -2 in eine der Ausgangsgleichungen ein:
 
kem LGuU LGuUELGSGsv 5 Gleichsetzungsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
 
Du kannst dein Ergebnis anhand der zweiten Gleichung überprüfen. Ist die Lösung richtig, erhältst du hier das gleiche Ergebnis.
 
kem LGuU LGuUELGSGsv 6 Gleichsetzungsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
x = -2 und y = -6
Lösungsmenge bestimmen
Die Lösungsmenge besteht aus dem Zahlenpaar x = -2 und y = -6 .
 
Du schreibst die Lösung (in runden Klammern) als Zahlenpaar (x;y) = (-2;-6) . Du schreibst für die Lösungsmenge kurz L = {(-2;-6)} .
L = { -2 ; -6 }
Wenn bei beiden Gleichungen auf der einen Seite der Gleichung nur das gleiche Vielfache einer Variablen steht, kannst du die beiden Terme auf der anderen Seite der Gleichung gleichsetzen.
 
Löse folgendes Gleichungssystem in ℚ:
 
kem LGuU LGuUELGSGsv 7 Gleichsetzungsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
Terme gleichsetzen
Auf der linken Seite steht jeweils nur 3 x . Du setzt die Terme 7 + 2 y und -5 - 4 y gleich.
 
Du erhältst eine neue Gleichung mit nur einer Variablen (y).
kem LGuU LGuUELGSGsv 8 Gleichsetzungsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
Anzahl der Lösungen bestimmen
Du löst die Gleichung 7 + 2 y = -5 - 4 y nach y auf:
 
kem LGuU LGuUELGSGsv 9 Gleichsetzungsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
 
Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung, da du für y einen eindeutig bestimmten Wert erhältst.
Wie viele Lösungen hat das Gleichungssystem in ℚ?
 
kem LGuU LGuUELGSGsv 10 Gleichsetzungsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
Lösungen berechnen
Du hast y bereits im vorigen Schritt berechnet. Um x zu berechnen, setzt du y = -2 in eine der Ausgangsgleichungen ein:kem LGuU LGuUELGSGsv 11 Gleichsetzungsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
 
Du kannst dein Ergebnis anhand der zweiten Gleichung überprüfen. Ist die Lösung richtig, erhältst du hier das gleiche Ergebnis.kem LGuU LGuUELGSGsv 12 Gleichsetzungsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
x = 1 und y = -2
Lösungsmenge bestimmen
Die Lösungsmenge besteht aus dem Zahlenpaar x = 1 und y = -2 .
 
Du schreibst die Lösung (in runden Klammern) als Zahlenpaar x ; y = (1;-2) . Du schreibst für die Lösungsmenge kurz L = {(1;-2)} .
L = { 1 ; -2 }
Manchmal ist es nötig, eine der Gleichungen erst umzustellen.
 
Löse folgendes Gleichungssystem in ℚ:
 
kem LGuU LGuUELGSGsv 13 Gleichsetzungsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
Gleichung umstellen
Du stellst Gleichung I nach 4 x um. In Gleichung II steht der Term 4 x bereits allein auf der linken Seite.
 
kem LGuU LGuUELGSGsv 14 Gleichsetzungsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
kem LGuU LGuUELGSGsv 15 Gleichsetzungsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
Terme gleichsetzen
Du setzt die Terme 14 - 2 y und 4 y - 4 gleich.
 
Du erhältst eine neue Gleichung mit nur einer Variablen (y).
kem LGuU LGuUELGSGsv 16 Gleichsetzungsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
Anzahl der Lösungen bestimmen
Du löst die Gleichung 14 - 2 y = 4 y - 4 nach y auf:
 
kem LGuU LGuUELGSGsv 17 Gleichsetzungsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
 
Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung, da du für y einen eindeutig bestimmten Wert erhältst.
Wie viele Lösungen hat das Gleichungssystem in ℚ?
 
kem LGuU LGuUELGSGsv 18 Gleichsetzungsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
Lösungen berechnen
Du hast y bereits im vorigen Schritt berechnet. Um x zu berechnen, setzt du y = 3 in eine der Ausgangsgleichungen ein:kem LGuU LGuUELGSGsv 19 Gleichsetzungsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
 
Du kannst dein Ergebnis anhand der zweiten Gleichung überprüfen. Ist die Lösung richtig, erhältst du hier das gleiche Ergebnis.kem LGuU LGuUELGSGsv 20 Gleichsetzungsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
x = 2 und y = 3
Lösungsmenge bestimmen
Die Lösungsmenge besteht aus dem Zahlenpaar x = 2 und y = 3 .
 
Du schreibst die Lösung (in runden Klammern) als Zahlenpaar (x;y) = (2;3) . Du schreibst für die Lösungsmenge kurz L = {(2;3)} .
L = { 2 ; 3 }

Anzahl der Lösungen

Bei linearen Gleichungssystemen gibt es drei verschiedene Möglichkeiten für die Anzahl der Lösungen:
 
kem LGuU LGuUELGSGsv 21 Gleichsetzungsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
keine Lösung
 
Löse folgendes Gleichungssystem in ℚ:
 
kem LGuU LGuUELGSGsv 22 Gleichsetzungsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
Gleichung umstellen
Du dividierst beide Seiten der Gleichung II durch 2:
 
kem LGuU LGuUELGSGsv 23 Gleichsetzungsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
kem LGuU LGuUELGSGsv 24 Gleichsetzungsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
Terme gleichsetzen
Du setzt die Terme -5 y und -5 y - 10 gleich.
 
Du erhältst eine neue Gleichung mit nur einer Variablen (y).
kem LGuU LGuUELGSGsv 25 Gleichsetzungsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
Anzahl der Lösungen bestimmen
Das Gleichungssystem hat keine Lösung, da eine falsche Aussage entsteht:kem LGuU LGuUELGSGsv 26 Gleichsetzungsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
 
Die Lösungsmenge ist leer: L={ }
Wie viele Lösungen hat das Gleichungssystem in ℚ?
 
kem LGuU LGuUELGSGsv 27 Gleichsetzungsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
unendlich viele Lösungen
 
Löse folgendes Gleichungssystem in ℚ:
 
kem LGuU LGuUELGSGsv 28 Gleichsetzungsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
Gleichung umstellen
Du stellst Gleichung II nach x um:
 
kem LGuU LGuUELGSGsv 29 Gleichsetzungsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
kem LGuU LGuUELGSGsv 30 Gleichsetzungsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
Terme gleichsetzen
Du setzt die Terme 7 + 3 y und 7 + 3 y gleich.
 
Du erhältst eine neue Gleichung mit nur einer Variablen (y).
kem LGuU LGuUELGSGsv 31 Gleichsetzungsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
Anzahl der Lösungen bestimmen
Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen, da beim Umstellen der Gleichung eine Aussage entsteht, die unabhängig von der Wahl von y stets wahr ist:kem LGuU LGuUELGSGsv 32 Gleichsetzungsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
 
Für jeden y -Wert in ℚ erhältst du nach Einsetzen in die Gleichungen genau einen x -Wert bzw. für jeden x -Wert genau einen y -Wert.Durch Umstellen einer der beiden Ausgangsgleichungen erhältst du: y = 1 3 x - 7 3
 
Es ergibt sich folgende Lösungsmenge: L = { x ; 1 3 x - 7 3 | x ∈ ℚ}
Wie viele Lösungen hat das Gleichungssystem in ℚ?
 
kem LGuU LGuUELGSGsv 33 Gleichsetzungsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme

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