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Einsetzungsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme

Einführung in lineare Gleichungssysteme

Hier erfährst du, wie du mit dem Einsetzungsverfahren lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen lösen kannst.
Inhaltsverzeichnis
 

Lösen von linearen Gleichungssystemen

Du kannst zum Lösen von Gleichungssystemen mit zwei linearen Gleichungen das Einsetzungsverfahren nutzen.
 

Ziel dieses Verfahrens ist, eine Gleichung zu erhalten, die nur noch eine Variable enthält.
 

Beim Einsetzungsverfahren wird eine Gleichung so umgestellt, dass eine Variable isoliert auf einer Seite der Gleichung steht. Der Term auf der anderen Seite der umgestellten Gleichung wird dann für die entsprechende Variable in der anderen Gleichung eingesetzt.
 

Anschließend löst du die Gleichung nach der verbleibenden Variablen auf. Den erhaltenen Wert setzt du in die zuvor umgestellte Gleichung ein und berechnest den Wert der zweiten Variablen und somit die Lösung des Gleichungssystems.
Eine der Gleichungen hat schon die gewünschte Form. Du kannst das Einsetzungsverfahren direkt anwenden.
 

Löse folgendes Gleichungssystem in ℚ:
 

media/kem_LGuU_LGuUELGSEsv_1.jpg
Term einsetzen
Du kannst den Term 2 x - 2 aus Gleichung II für y in Gleichung I einsetzen.
 

Du erhältst eine neue Gleichung mit nur einer Variablen ( x ).
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Anzahl der Lösungen bestimmen
Du löst die Gleichung 6 x + 2 * 2 x - 2 = 6 :
 

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Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung, da du für x einen eindeutigen Wert erhältst.
Wie viele Lösungen hat das Gleichungssystem in ℚ?
 

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Lösungen berechnen
Du hast x bereits im vorigen Schritt berechnet. Um y zu berechnen, setzt du x = 1 in eine der Ausgangsgleichungen ein:
 

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Du kannst dein Ergebnis anhand der zweiten Gleichung überprüfen. Ist die Lösung richtig, erhältst du hier das gleiche Ergebnis.
 

media/kem_LGuU_LGuUELGSEsv_6.jpg
x = 1 und y = 0
Lösungsmenge bestimmen
Die Lösungsmenge besteht aus dem Zahlenpaar x = 1 und y = 0 .
 

Du schreibst die Lösung (in runden Klammern) als Zahlenpaar (x;y) = (1;0) . Du schreibst für die Lösungsmenge kurz L = { 1 ; 0 }.
L = { 1 ; 0 }
Das Einsetzungsverfahren kannst du erst anwenden, wenn du eine der Gleichungen nach einer Variablen umgestellt hast.
 

Löse folgendes Gleichungssystem in ℚ:
 

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Gleichung umstellen
Du stellst Gleichung I um, da dort bereits eine Variable(x) mit dem Koeffizienten 1 vorhanden ist:
 

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Term einsetzen
Du setzt den Term 2 - 3 y für x in Gleichung II ein.
 

Du erhältst eine neue Gleichung mit nur einer Variablen (y).
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Anzahl der Lösungen bestimmen
Du löst die Gleichung 4 2 - 3 y + 2 y = -2 :
 

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Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung, da du für y einen eindeutig bestimmten Wert erhältst.
Wie viele Lösungen hat das Gleichungssystem in ℚ?
 

media/kem_LGuU_LGuUELGSEsv_12.jpg
Lösungen berechnen
Du hast y bereits im vorigen Schritt berechnet. Um x zu berechnen, setzt du y = 1 in eine der Ausgangsgleichungen ein:
media/kem_LGuU_LGuUELGSEsv_13.jpg
 

Du kannst dein Ergebnis anhand der zweiten Gleichung überprüfen. Ist die Lösung richtig, erhältst du hier das gleiche Ergebnis.
media/kem_LGuU_LGuUELGSEsv_14.jpg
x = -1 und y = 1
Lösungsmenge bestimmen
Die Lösungsmenge besteht aus dem Zahlenpaar x = -1 und y = 1 .
 

Du schreibst die Lösung (in runden Klammern) als Zahlenpaar ( x ; y ) = (-1;1) . Du schreibst für die Lösungsmenge kurz L = {(-1;1)} .
L = { -1 ; 1 }
Umstellen einer Gleichung nach einem Vielfachen einer Variablen
 

Löse folgendes Gleichungssystem in ℚ:
 

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Term einsetzen
Du setzt den Term 4 y - 4 für 4 x in Gleichung I ein.
 

Du erhältst eine neue Gleichung mit nur einer Variablen ( y ).
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Anzahl der Lösungen bestimmen
Du löst die Gleichung 4 y - 4 + 2 y = 14 :
 

media/kem_LGuU_LGuUELGSEsv_17.jpg
 

Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung, da du für y einen eindeutig bestimmten Wert erhältst.
Wie viele Lösungen hat das Gleichungssystem in ℚ?
 

media/kem_LGuU_LGuUELGSEsv_18.jpg
Lösungen berechnen
Du hast y bereits im vorigen Schritt berechnet. Um x zu berechnen, setzt du y = 3 in eine der Ausgangsgleichungen ein:
media/kem_LGuU_LGuUELGSEsv_19.jpg
 

Du kannst dein Ergebnis anhand der zweiten Gleichung überprüfen. Ist die Lösung richtig, erhältst du hier das gleiche Ergebnis.
media/kem_LGuU_LGuUELGSEsv_20.jpg
x = 2 und y = 3
Lösungsmenge bestimmen
Die Lösungsmenge besteht aus dem Zahlenpaar x = 2 und y = 3 .
 

Du schreibst die Lösung (in runden Klammern) als Zahlenpaar (x;y) = (2;3) . Du schreibst für die Lösungsmenge kurz L = {(2;3)} .
L = { 2 ; 3 }
 

Anzahl der Lösungen

Bei linearen Gleichungssystemen gibt es drei verschiedene Möglichkeiten für die Anzahl der Lösungen:
 

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keine Lösung
 

Löse folgendes Gleichungssystem in ℚ:
 

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Term einsetzen
Du setzt die Terme -5 y für 2 x in Gleichung II ein.
 

Beachte: Da vor 2 x in Gleichung II ein Minuszeichen steht, setzt du den Term in Klammern.
 

Du erhältst eine neue Gleichung mit nur einer Variablen ( y ).
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Anzahl der Lösungen bestimmen
Das Gleichungssystem hat keine Lösung, da eine falsche Aussage entsteht:
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Die Lösungsmenge ist leer:
L={ }
Wie viele Lösungen hat das Gleichungssystem in ℚ?
 

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unendlich viele Lösungen
 

Löse folgendes Gleichungssystem in ℚ:
 

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Term einsetzen
Du setzt den Term 7 + 3 y für x in Gleichung II ein.
 

Du erhältst eine neue Gleichung mit nur einer Variablen ( y )
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Anzahl der Lösungen bestimmen
Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen, da beim Umstellen der Gleichung eine Aussage entsteht, die unabhängig von der Wahl von y stets wahr ist:
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Für jeden y-Wert erhältst du nach Einsetzen in die Gleichungen genau einen x-Wert bzw. für jeden x-Wert genau einen y-Wert.
Durch Umstellen einer der beiden Ausgangsgleichungen erhältst du:
y = 1 3 x - 7 3
 

Es ergibt sich folgende Lösungsmenge:
L = { x ; 1 3 x - 7 3 | x ∈ ℚ)}
Wie viele Lösungen hat das Gleichungssystem in ℚ?
 

media/kem_LGuU_LGuUELGSEsv_29.jpg
 
Mehr über Einführung in lineare Gleichungssysteme
 
Mathe-Portal » Mathebuch » Lineare Gleichungen und Ungleichungen » Einsetzungsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme

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