Bruchgleichungen lösen und darstellen

Online Mathe üben

Hier erfährst du, wie du Bruchgleichungen durch Probieren, graphisch oder durch Umformungen lösen kannst.Eine Bruchgleichung ist eine Gleichung die Bruchterme enthält.
 
Da Bruchgleichungen nicht für alle Zahlen definiert sein müssen, bestimmst du den maximalen Definitionsbereich aller Bruchterme und versicherst dich, dass jeder berechnete Wert für die unbekannte Variable im Definitionsbereich jedes Bruchterms enthalten ist.

Lösen durch Probieren

Einfache Bruchgleichungen kannst du durch Probieren lösen.Wenn du einen Wert für die Variable x gewählt hast, überprüfst du, ob die Bruchterme auf beiden Seiten denselben Wert für x ergeben.Außerdem überprüfst du, ob die Bruchterme für den gefundenen Wert x definiert sind.
Welche der Zahlen 5; 1 5 und -1 ist eine Lösung der Bruchgleichung 2 x - 4 x + 4 = 6 x 3 x - 2 ?
Werte einsetzen und berechnen
Du setzt die Werte für x in die Bruchterme 2 x - 4 x + 4 und 6 x 3 x - 2 ein und prüfst, ob die Termwerte gleich sind.Hier ergibt nur 1 5 eine wahre Aussage.Du setzt x = 1 5 in den Term 2 x - 4 x + 4 ein:
 
kem FuD FuDEgrFBrG 1 Bruchgleichungen lösen und darstellen
 
Du setzt x = 1 5 in den Term 6 x 3 x - 2 ein:
 
kem FuD FuDEgrFBrG 2 Bruchgleichungen lösen und darstellen
 
Die Ergebnisse sind gleich und die Bruchterme 2 x - 4 x + 4 und 6 x 3 x - 2 sind für x = 1 5 definiert. 1 5 ist eine Lösung der Bruchgleichung.
1 5 ist Lösung der Bruchgleichung 2 x - 4 x + 4 = 6 x 3 x - 2 .
Ist die Zahl 1 eine Lösung der Bruchgleichung 2 x + 1 x = 3 x 2 8 x + 1 ?
Termwerte berechnen
Du setzt 1 für x in beide Bruchterme ein und überprüfst, ob die Ergebnisse gleich sind.Linke Seite:
 
2 * 1 + 1 1 = 3
 
Rechte Seite:
 
3 * 1 2 8 * 1 + 1 = 1 3
 
Die beiden Werte sind verschieden, also ist 1 keine Lösung der Bruchgleichung.
Nein, 1 ist keine Lösung der Bruchgleichung.
Ist 2 oder 3 eine Lösung der Gleichung x 3 - 6 x 2 + 11 x x - 3 = 6 x - 3 ?
Termwert berechnen
x = 3 Die Bruchterme sind für x = 3 nicht definiert, da in beiden Fällen der Nenner null wird.Also kann 3 keine Lösung der Bruchgleichung sein.
 
x = 2 Beide Bruchterme sind für x = 2 definiert.
 
Du setzt 2 für x in beide Bruchterme ein und überprüfst, ob die Termwerte gleich sind.
 
Linke Seite:
 
2 3 - 6 * 2 2 + 11 * 2 2 - 3 = -6
 
Rechte Seite:
 
6 2 - 3 =-6
 
Die beiden Werte stimmen überein, also ist 2 eine Lösung der Bruchgleichung.
 
Bruchgleichungen können auch mehrere Lösungen haben.Bei diesem Beispiel ist 1 eine weitere Lösung.
2 ist Lösung der Bruchgleichung

Graphisch lösen

An der Stelle, an der sich zwei Funktionsgraphen schneiden, haben die Funktionsterme denselben Wert. Du betrachtest die Bruchterme beider Seiten einer Bruchgleichung also als Funktionsterme zweier gebrochen-rationaler Funktionen und stellst die zugehörigen Graphen in einem Koordinatensystem dar. Die x -Koordinate des Schnittpunktes beider Graphen ist die Lösung der Bruchgleichung.
Gegeben sind die Graphen zu den Funktionstermen f(x) = 1 x + 2 und g(x) = 2 x + 1 .
 
Lies die Lösung der Gleichung 1 x + 2 = 2 x + 1 im Koordinatensystem ab.
 
kem FuD FuDEgrFBrG 3 Bruchgleichungen lösen und darstellen
x -Koordinate ablesen
Der Schnittpunkt hat die Koordinaten -3 | - 1 , die Lösung der Bruchgleichung ist also -3 .
x = -3

Lösen durch Umformen

Um eine Bruchgleichung zu lösen, kannst du die Gleichung in eine nennerfreie Gleichung umformen.
 
Beachte, dass die Bruchgleichung und die umgeformte Gleichung verschiedene Definitionsbereiche haben können.Du bestimmst also zuerst den maximalen Definitionsbereich der Bruchterme.
 
Enthält die Bruchgleichung nur einen Bruchterm, dann multiplizierst du die gesamte Gleichung mit dem Nenner dieses Bruchterms.
Bestimme den maximalen Definitionsbereich D der Bruchgleichung 3 x 2 + 6 x x + 2 = 4 x in der Grundmenge ℚ und löse sie.
Definitionsbereich bestimmen
Der Bruchterm 3 x 2 + 6 x x + 2 ist für x = -2 nicht definiert, denn x + 2 = 0 für x = -2 .
D = { - 2 }
Lösungsmenge bestimmen
Du multiplizierst beide Seiten der Gleichung mit dem Nenner x + 2 und erhältst eine nennerfreie Gleichung:
 
kem FuD FuDEgrFBrG 4 Bruchgleichungen lösen und darstellen
 
Diese Gleichung löst du nach x auf:
 
kem FuD FuDEgrFBrG 5 Bruchgleichungen lösen und darstellen
 
Also: x 1 = 0 und x 2 = -2
 
Da -2 aber nicht im Definitionsbereich enthalten ist, ist -2 keine Lösung der Bruchgleichung.
L = 0
 
Lösen durch Multiplizieren mit dem HauptnennerEnthält die Bruchgleichung mehrere Bruchterme, dann multiplizierst du beide Seiten der Bruchgleichung mit dem Hauptnenner.
Bestimme den maximalen Definitionsbereich D der Bruchgleichung 1 x x + 1 = 3 x + 1 in der Grundmenge ℚ und löse sie.
Definitionsbereich bestimmen
Beide Bruchterme sind für x = -1 nicht definiert, denn x + 1 = 0 für x = -1 .Der Bruchterm 1 x x + 1 ist außerdem auch für x = 0 nicht definiert, denn der Nenner enthält x als Faktor.
D = { 0 ; -1 }
Gleichung lösen
Der Hauptnenner der Bruchterme ist x x + 1 .
 
Du multiplizierst beide Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner und erhältst eine nennerfreie Gleichung:
 
kem FuD FuDEgrFBrG 6 Bruchgleichungen lösen und darstellen
 
Diese Gleichung löst du nach x auf.
 
x = 1 3
x = 1 3
 
Lösen durch Multiplizieren über KreuzEnthält die Bruchgleichung auf jeder Seite nur einen Bruchterm, so multiplizierst du über Kreuz.
Löse die Bruchgleichung 1 x + 1 = x x + 4 .
über Kreuz multiplizieren
Du multiplizierst den Zähler der linken Seite mit dem Nenner der rechten Seite und den Zähler der rechten Seiten mit dem Nenner der linken Seite:
 
1 x + 1 = x x + 4 kem FuD FuDEgrFBrG 7 Bruchgleichungen lösen und darstellen 1 * x + 4 = x x + 1
 
Vergiss die Klammern nicht.
x + 4 = x 2 + x
Lösungsmenge bestimmen
kem FuD FuDEgrFBrG 8 Bruchgleichungen lösen und darstellen
 
x 2 = 4 gilt nur für x = -2 und für x = 2
 
Die Bruchterme sind für x = -2 und für x = 2 definiert.
L = { 2 ; -2 }

Gleichungen mit Potenzrechnung lösen

In speziellen Fällen kannst du Bruchgleichungen auch mit Hilfe der Potenzrechenregeln lösen. Du formst die Gleichung so um, dass eine Gleichung der Form x 2 = a oder der Form x 3 = b entsteht, von der du weißt, dass a eine Quadratzahl und b ein Kubikzahl ist.Sind a und b keine zweiten oder dritten Potenzen von ganzen Zahlen, so löst du die Gleichung näherungsweise mit Hilfe eines Funktionsgraphen.
Gib alle Lösungen der Gleichung 2 x 3 = 18 x 5 an.
Lösungen angeben
Du schreibst die Bruchterme, die beide auf ℚ ∖ {0 } definiert sind, als Potenzen mit negativen Exponenten und wendest die Rechenregeln der Potenzrechnung an:
 
kem FuD FuDEgrFBrG 9 Bruchgleichungen lösen und darstellen
 
Also x 1 = 3 und x 2 = -3 .
L = { -3 ; 3 }
Gib alle Lösungen der Gleichung 2 x 3 = 54 x 6 an.
Lösungen angeben
Du schreibst die Bruchterme, die beide auf ℚ ∖ {0 } definiert sind, als Potenzen mit negativen Exponenten und wendest die Rechenregeln der Potenzrechnung an:
 
kem FuD FuDEgrFBrG 10 Bruchgleichungen lösen und darstellen
 
Also x = 3 .
L = { 3 }
Gib alle Lösungen der Gleichung 1 x 4 = 5 an. Schaue dir dazu den Graphen der Funktion f mit f(x) = 1 x 4 an:
 
kem FuD FuDEgrFBrG 11 Bruchgleichungen lösen und darstellen
Lösungen angeben
Du suchst die Schnittpunkte des Graphen mit der Geraden y = 5 und liest die x -Koordinaten an der x -Achse ab.
 
kem FuD FuDEgrFBrG 12 Bruchgleichungen lösen und darstellen
Gerundete Lösungen der Gleichung:
 
kem FuD FuDEgrFBrG 13 Bruchgleichungen lösen und darstellen

Online Mathe üben!