Anwendungen zu Gleichungen

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Hier erfährst du anhand verschiedener Beispiele, wie man mathematische Fragestellungen mit Hilfe von Gleichungen lösen kann.

Wie löst man Anwendungsaufgaben?

Anwendungsaufgaben, Rätsel und viele Probleme aus dem Alltag kannst du lösen, indem du für die beschriebene Situation eine Gleichung aufstellst und diese anschließend löst. Es ist hilfreich, wenn du dich dabei an folgende Arbeitsschritte hältst:
 
1.Variable festlegen2.Terme aufstellen3.Bestimmungsgleichung aufstellen4.Bestimmungsgleichung lösen5.Inhaltliche Probe der Lösung 6.Antwort formulieren

Zahlenrätsel

Zahlenrätsel sind die einfachste Form der Textaufgaben, denn bei Zahlenrätseln werden die Rechenvorschriften direkt formuliert, du musst sie nur in Terme „übersetzen“.
Die Summe dreier Zahlen ist 95. Die zweite ist um 13 größer als die erste und die dritte um 6 kleiner als die zweite. Welche drei Zahlen sind gesucht?
Variable festlegen
Da die zweite Zahl mit Hilfe der ersten Zahl umschrieben ist und die dritte Zahl mit Hilfe der zweiten Zahl, ist es sinnvoll, die Variable für die erste Zahl zu wählen.
Mit x wird die erste Zahl bezeichnet.
Terme aufstellen
Die zweite Zahl ist um 13 größer als die erste Zahl. Deshalb wird sie durch den Term x + 13 dargestellt.Die dritte Zahl ist um 6 kleiner als die zweite Zahl. Deshalb wird sie durch den Term x + 13 - 6 = x + 7 dargestellt.
x ist die erste Zahl. x + 13 ist die zweite Zahl. x + 7 ist die dritte Zahl. x + x + 13 + x + 7 = x + x + 13 + x + 7 ist die Summe der drei Zahlen.
Bestimmungsgleichung aufstellen
Die Summe der drei Zahlen ist 95, also müssen die drei Terme addiert 95 ergeben.
x + x + 13 + x + 7 = 95
Bestimmungsgleichung lösen
Die Gleichung kann durch äquivalenzumformungen gelöst werden.
kem LGuU LGuULGAnw 1 Anwendungen zu Gleichungen
Inhaltliche Probe der Lösung
x = 25 ist die erste Zahl.Die zweite ist um 13 größer, also 25 + 13 = 38 .Die dritte ist um 6 kleiner als die zweite, also 38 - 6 = 32 .Alle drei Zahlen ergeben zusammen 25 + 38 + 32 = 95 .
Antwort formulieren
Die gesuchten drei Zahlen sind 25, 38 und 32.
Subtrahiert man von der Summe aus der Hälfte, dem dritten Teil, dem sechsten Teil und dem achten Teil einer Zahl 2, so erhält man die Zahl selbst.
Variable festlegen
Da alle anderen Zahlen mit Hilfe der gesuchten Zahl umschrieben sind ist es sinnvoll, die Variable für die gesuchte Zahl zu wählen.
x ist die gesuchte Zahl.
Terme aufstellen
x ist die gesuchte Zahl. x 2 ist die Hälfte der Zahl. x 3 ist der dritte Teil der Zahl. x 6 ist der sechste Teil der Zahl. x 8 ist der achte Teil der Zahl. x 2 + x 3 + x 6 + x 8 - 2 ist die Summe der vier Zahlen, von der 2 subtrahiert wurde.
Bestimmungsgleichung aufstellen
Von der Summe der Anteile soll 2 subtrahiert werden und man erhält die Zahl selbst.
x 2 + x 3 + x 6 + x 8 - 2 = x
Bestimmungsgleichung lösen
Die Gleichung kann durch äquivalenzumformungen gelöst werden.
kem LGuU LGuULGAnw 2 Anwendungen zu Gleichungen
Probe der Lösung
Die Probe zeigt, dass die Lösung x = 16 richtig ist.
x = 16 ist die gesuchte Zahl.Die Hälfte von 16 ist 8.Der dritte Teil von 16 ist 16 3 = 5 1 3 .Der sechste Teil von 16 ist 16 6 = 2 2 3 .Der achte Teil von 16 ist 2.Von der Summe 2 subtrahiert ergibt 8 + 5 1 3 + 2 2 3 + 2 - 2 = 16 .
Antwort formulieren
Die gesuchte Zahl heißt 16.

Altersrätsel

Altersrätsel sind eine beliebte Form von Knobelaufgaben. Hier ist besonders zu beachten, dass die Grundmenge die natürlichen Zahlen sind, denn das Alter eines Menschen wird selten als Bruch angegeben und kann nie negativ sein.
Herr Meier ist heute fünfmal so alt wie sein Sohn Paul. Vor drei Jahren war er noch achtmal so alt wie sein Sohn. Wie alt sind beide heute?
Variable festlegen
Da das Alter von Herrn Meier durch das Alter von Paul beschrieben wird, ist es sinnvoll, die Variable so zu wählen.
x ist das Alter von Paul heute.
Terme aufstellen
x ist das Alter von Paul heute. 5 x ist das Alter von Herrn Meier heute. x - 3 ist das Alter von Paul vor drei Jahren. 5 x - 3 ist das Alter von Herrn Meier vor drei Jahren. 8 x - 3 ist auch das Alter von Herrn Meier vor drei Jahren.
Bestimmungsgleichung aufstellen
Hier wurden die beiden letzten Terme miteinander gleichgesetzt.
5 x - 3 = 8 x - 3
Bestimmungsgleichung lösen
Du kannst die aufgestellte Bestimmungsgleichung durch äquivalenzumformungen lösen.
kem LGuU LGuULGAnw 3 Anwendungen zu Gleichungen
Probe der Lösung
Die überprüfung der Ergebnisse zeigt, das die Lösung richtig ist. 7 * 5 = 35 (Pauls Vater ist heute 5 mal so alt wie Paul.) 4 * 8 = 32 (Pauls Vater war vor drei Jahren 8 mal so alt wie Paul.)
x = 7 ist das Alter von Paul heute. 5 * 7 = 35 ist das Alter von Herrn Meier heute. 7 - 3 = 4 ist das Alter von Paul vor drei Jahren 5 * 7 - 3 = 32 ist das Alter von Herrn Meier vor drei Jahren. 8 7 - 3 = 32 ist auch das Alter von Herrn Meier vor drei Jahren.
Antwort formulieren
Heute ist Paul 7 Jahre alt. Sein Vater ist 35 Jahre alt.

Bewegungsaufgaben

In Bewegungsaufgaben geht es meist darum, dass zwei oder mehr Personen zu Fuß oder mit Fahrzeugen und unterschiedlichen Geschwindigkeiten sich aufeinander zu oder hintereinander her bewegen und sich auf einem Weg treffen bzw. sich einholen.
Anna will ihre Oma vom Bahnhof abholen. Leider kommt Anna zu spät und ihre Oma steht schon auf dem Bahnhofsvorplatz. Als Anna auf 150 m an den Bahnhof herangekommen ist, erkennen sich die beiden und laufen aufeinander zu. Anna läuft in einer Sekunde 3.5 m , die Oma schafft nur 1.5 m in einer Sekunde. Nach wie vielen Sekunden und wie vielen Metern von Omas Warteplatz entfernt treffen sich die beiden?
Variable festlegen
x ist die Anzahl der Sekunden, die vergehen, bis sie sich treffen.
Terme aufstellen
150 ist die Gesamtstrecke in Metern.3,5x ist Strecke in Metern, die Anna in der Zeit x zurücklegt.1,5x ist Strecke in Metern, die die Oma in der Zeit x zurücklegt.
Bestimmungsgleichung aufstellen
Hier wurden die beiden Streckenangaben einander gleichgesetzt.
3.5 x + 1.5 x = 150
Bestimmungsgleichung lösen
Du kannst die aufgestellte Bestimmungsgleichung durch äquivalenzumformungen lösen.
kem LGuU LGuULGAnw 4 Anwendungen zu Gleichungen
Probe der Lösung
Die inhaltliche Probe zeigt, dass die Lösung richtig ist.
x = 30 ist Anzahl der Sekunden, die vergehen, bis die beiden sich treffen.In dieser Zeit schafft Anna 105 m (3,5 • 30 = 105).Die Oma schafft 45 m (1,5 • 30 = 45).Beide zusammen laufen 150 m (105 + 45 = 105).
Antwort formulieren
Anna und ihre Oma treffen sich nach 30 Sekunden 45 m vom Bahnhof entfernt.

Historische Aufgaben /Märchenhaftes

Schon in der Antike und auch in Märchen wurden gern Rätsel gelöst oder scheinbar unlösbare Aufgaben gestellt.
Eine teuflische Angelegenheit
 
Zu einem armen Manne, der ihn in seiner Not um Hilfe bat, sprach der Teufel: „Jedes Mal, wenn du über diese Brücke gehst, will ich das Geld, das du bei dir trägst, verdoppeln. Gehst du aber zurück, dann musst du jedes Mal 8 Taler für mich ins Wasser werfen.“ Im Glauben, ein gutes Geschäft zu machen, ging der Mann über die Brücke und wieder zurück. Er ging ein zweites Mal und wieder zurück. Als er schließlich ein drittes Mal über die Brücke ging und beim Zurückkehren 8 Taler ins Wasser warf, stellte er mit Entsetzen fest, dass er nun kein Geld mehr besaß. Wie viele Taler trug der Mann anfangs bei sich?
Variable festlegen
x ist die Anzahl der Taler, die der Mann anfangs bei sich trug.
Terme aufstellen
2x ist die Anzahl der Taler, nachdem der Mann das erste Mal über die Brücke gegangen ist.2x – 8 ist die Anzahl der Taler, nachdem der Mann das erste Mal zurück gegangen ist. 2 2 x - 8 ist die Anzahl der Taler, nachdem der Mann das zweite Mal über die Brücke gegangen ist. 2 2 x - 8 - 8 ist die Anzahl der Taler, nachdem der Mann das zweite Mal zurück gegangen ist.
 
usw.
Bestimmungsgleichung aufstellen
Der Mann ist dreimal hin und dreimal zurück gegangen und hatte dann kein Geld mehr in der Tasche.
2 2 2 x - 8 - 8 - 8 = 0
Bestimmungsgleichung lösen
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Probe der Lösung
Die inhaltliche Probe zeigt, dass die Lösung richtig ist.
x = 7, der Mann hat also anfangs 7 Taler.Nach dem ersten Hinübergehen wird die Anzahl verdoppelt, er hat dann also 14 Taler (2 • 7 = 14).Beim ersten Zurückgehen wirft er 8 Taler ins Wasser. Ihm bleiben noch 6 Taler (14 – 8 = 6).Er geht ein zweites Mal über die Brücke und die Anzahl der Taler wird auf 12 verdoppelt (2 • 6 = 12).Beim zweiten Zurückgehen wirft er wieder 8 Taler ins Wasser und besitzt nur noch 4 Taler (12 – 8 = 4).Beim dritten Mal werden nun die 4 Taler verdoppelt und er hat 8 Taler (2 • 4 = 8).Beim dritten Zurückgehen muss er nun diese 8 Taler ins Wasser werfen und hat kein Geld mehr in der Tasche.
Antwort formulieren
Das Geschäft mit dem Teufel ist für den Mann nur dann gewinnbringend, wenn er anfangs mehr Taler in der Tasche hat, als er beim Zurückgehen ins Wasser werfen muss. Also wäre es bei genau 8 Talern ein ständiges Hin und Her ohne dass es mehr oder weniger Taler würden und bei mehr als 8 Talern würde der Mann Geld dazu gewinnen.Aber es ist nie ratsam, Geschäfte mit dem Teufel zu machen.
Der Mann trug anfangs 7 Taler bei sich.

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