Statistik: Lagemaße

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Arithmetisches Mittel (Mittelwert)
Das arithmetische Mittel \(\bar x = A(x_1,\dots, x_n)\) endlich vieler Zahlen \(x_1, \dots , x_n\) wird nach der Formel

\(A(x_1,\dots, x_n) = \frac{1}{n}(x_1 + \cdots + x_n) = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n x_k\)

berechnet.

Geometrisches Mittel
Das geometische Mittel \(G(x_1,\dots, x_n)\) endlich vieler positiver Zahlen \(x_1, \dots , x_n\) wird nach der Formel

\(G(x_1,\dots, x_n) = \sqrt[n]{x_1 \cdot \cdots \cdot x_n} = \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n x_k}\)

berechnet.

Harmonisches Mittel
Das harmonische Mittel \(H(x_1,\dots, x_n)\) endlich vieler positiver Zahlen \(x_1, \dots , x_n\) wird nach der Formel

\(H(x_1,\dots, x_n) = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \cdots +\frac{1}{x_n}}\)

berechnet.

Median oder Zentralwert
Der Median \(\hat x\) einer geordneten Zahlenreihe \(x_1\le x_s \le \dots \le x_n\) ist der mittlere Wert

median zentralwert Statistik: Lagemaße

Das heißt \(\hat x\) ist der Wert in der Mitte der Reihe für eine ungerade Anzahl und das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte der Reihe für eine gerade Anzahl von Werten.
Mit anderen Worten: Für jeweils mindestens die Hälfte aller Werte gilt \(x_k\ge \hat x\) bzw. \(x_k\le \hat x\).


Quartil oder Viertelwert und Perzentil oder Prozentwert
Eine feinere Einteilung einer nach der Größe ihrer Werte geordneten Datenreihe liefern die Quartile und die Perzentile. Für \(0 wird das \(p\)%-Perzentil \(x_{\frac{p}{100}}\) definiert als der Wert, für den \(x_k \le x_{\frac{p}{100}}\) für mindestens \(p\)% der Werte und \(x_k \ge x_{\frac{p}{100}}\) für mindestens \((100-p) \)% der Werte gilt. Das Perzentil \(x_{0,25}\) nennt man auch erstes (oder unteres) Quartil, \(x_{0,75}\) drittes (oder oberes) Quartil. Das zweite Quartil \(x_{0,5}\) ist der Median.
Wird für eine reelle Zahl \(x\) mit \(\lceil x\rceil\) die nächstgrößere ganze Zahl bezeichnet, so gelten für die \(p\)%-Perzentile die Formeln

quartil perzentil Statistik: Lagemaße

Modus oder Modalwert
Der Modus \(m\) einer Datenreihe ist der am häufigsten vorkommende Wert in der Reihe.

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