Funktionen und Gleichungen

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Lineare Funktionen und Gleichungen
Eine lineare Funktion \(f\) wird durch die Funktionsgleichung

\(y = f(x) = m\cdot x + n\)

definiert. Dabei ist \(m\) die Steigung des Graphen. \(n\) gibt den \(y\)-Achsenabschnitt an, die Stelle, an der der Graph der Funktion die \(y\)-Achse schneidet.
Sind \(P(x_p|y_P)\) und \(Q(x_Q|y_Q)\) zwei verschiedene Punkte auf dem Graphen, so gilt für die Steigung

\(m = \frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}\)

Im Fall \(m > 0\) ist die Funktion monoton steigend, im Fall \(m<0\) ist sie monoton fallend und im Fall \(m=0\) ist sie konstant. Die Nullstelle \(x_0\) einer nicht konstanten linearen Funktion \(f\) ist Lösung der linearen Gleichung \(mx+n=0\) und ist gegeben durch

\(x_0 = -\frac{n}{m}\)

Lineare Gleichungssysteme
Eine Gerade ist gegeben durch eine Geradengleichung

\(ax+by = c\)

mit \(a, b, c\in\mathbb{R}\) und \(a \cdot b\ne 0\).
Ist \(b\ne 0\), so besitzt die Gerade die Normalform

\(y = mx + n \quad \mbox{mit }m = -\frac{a}{b} \mbox{ und } n = \frac{c}{b}\)

Die Schnittpunkte zweier Geraden sind gegeben durch die Lösungen des linearen Gleichungssystems

\(a_1 x + b_1 y=c_1\)

\(a_2 x + b_2y=c_2\)

Wenn für die Determinante

\(D = a_1 b_2 – a_2 b_1 \ne 0\)

gilt, besitzt das lineare Gleichungssystem genau eine Lösung \((x,y)\) mit

\(x = \frac{1}{D}~(c_1 b_2 – c_2 b_1) \quad\mbox{und}\quad y =\frac{1}{D}~(a_1 c_2 – a_2 c_1)\)

Die Geraden schneiden sich im Punkt \(P(x|y)\).
Ist \(D=0\) so besitzt das Gleichungsystem keine Lösung oder unendlich viele Lösungen, je nachdem ob die zugehörigen Geraden parallel sind oder identisch.

Quadratische Funktionen und Gleichungen
Eine quadratische Funktion \(f\) wird durch die Funktionsgleichung

\(y = f(x) = a\cdot x^2 + bx + c\)

definiert. Dabei sind \(a,b,c\) konstante reelle Zahlen und \(a\ne0\).
Der Graph ist eine Parabel mit der Öffnung nach oben, falls \(a>0\), und nach unten, falls \(a<0\). Der Scheitelpunkt \(S(x_S|y_S)\) der Parabel hat die Koordinaten

\(x_S = -\frac{b}{2a}\quad\mbox{ und }\quad y_S = \frac{4ac-b^2}{2a}\)

Eine quadratische Funktion \(f\) liegt in Normalform vor, wenn

\(y = f(x) = x^2 + px + q\)

mit konstanten reellen Zahlen \(p\) und \(q\). Der Scheitelpunkt \(S(x_S|y_S)\) der zugehörigen Parabel hat die Koordinaten

\(x_S = -\frac{p}{2}\quad\mbox{ und }\quad y_S = -\frac{p^2}{4}+q\)

Im Fall \(p=0\) und \(q=0\) erhält man die Normalparabel.

Eine quadratische Funktion \(f\) liegt in Scheitelpunktform vor, wenn

\(y = f(x) = a(x-d)^2 + e\)

mit konstanten reellen Zahlen \(a, d\) und \(e\), wobei \(a\ne 0\). Die zugehörige Parabel besitzt dann den Scheitelpunkt \(S(d|e)\).
Die Nullstellen einer quadratischen Funktion \(f\) sind die Lösungen der quadratischen Gleichungen \(y = f(x) = 0\).
Die Anzahl der Lösungen hängt ab von der Diskriminante

\(D= \left(\frac{p}{2}\right)^2-q \quad \mbox{(Gleichung in Normalform } x^2 + px + q=0)\)

\(D= b^2 – 4ac \quad\mbox{(Gleichung in allgemeiner Form } ax^2 + bx + c=0)\)

Ist \(D<0\), so gibt es keine Lösung, ist \(D=0\), genau eine Lösung \(x = -\frac{p}{2}\) bzw. \(x = -\frac{b}{2a}\).

Im Fall \(D>0\) gibt es zwei Lösungen \(x_1\) und \(x_2\).

\(x_{1,2} = -\frac{p}{2}\pm\sqrt{\frac{p^2}{4} – q} \quad \mbox{({\it pq}-Formel) }\)

\(x_{1,2} = -\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} \quad\mbox{({\it abc}-Formel, Mitternachtsformel) }\)

Winkelfunktionen (am Dreieck)
Für ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypothenuse der Länge \(c\) und den Katheten der Längen \(a\) bzw. \(b\) werden für die Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) die Winkelfunktionen (auch trigonometrische Funktionen) Sinus, Kosinus und Tangens als spezielle Verhältnisse der Seitenlängen definiert.

\(\sin(\alpha) = \frac{a}{c}\)

\(\cos(\alpha) = \frac{b}{c}\)

\(\tan(\alpha) = \frac{a}{b}\)

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Für die trigonometrischen Funktionen gelten die folgenden Beziehungen

\(\sin(\beta) = \sin(90^\circ-\alpha)= \cos(\alpha)\)

\(\cos(\beta) = \cos(90^\circ-\alpha)= \sin(\alpha)\)

\(\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\quad\mbox{ und}\quad \tan(\beta) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}\)

Für \(\frac{1}{\tan(\alpha)}\) wird auch die Bezeichnung \(\cot(\alpha)\) (Kotangens) verwendet. Aus dem Satz des Pythagoras folgt die Beziehung

\(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\)

Hier steht \(\sin^2(\alpha)\) für \((\sin(\alpha))^2\). Für spezielle Winkel haben die trigonometrischen Funktionen einfache Werte

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