Theoretische Mathematik

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Die Mathematik als Wissenschaft ist gemeinsam mit der Philosophie in der griechischen Antike entstanden. Obwohl man bereits seit Jahrtausenden in Mesopotamien und in Ägypten gerechnet und gemessen hat, waren griechische Mathematiker (wie Thales und Pythagoras mit seinen Schülern) um 600 v. Chr. die Ersten, die sich mit Zahlen und ihren Eigenschaften sowie mit geometrischen Fragestellungen beschäftigt haben. Darauf aufbauend hat sich die Mathematik in den letzten zweieinhalb Jahrtausenden weiter entwickelt und dabei in so viele Teilbereiche verzweigt, dass sie der einzelne Mathematiker heute kaum noch vollständig überblicken kann. Sie ist längst nicht mehr nur die Wissenschaft von den Zahlen und Figuren, sondern gilt heute als die Wissenschaft von den Strukturen und Mustern.

Man kann versuchen das Fach Mathematik nach historischen Entwicklungsstufen, nach inhaltlichen Strukturen oder nach Anwendungsgebieten zu unterteilen. Als Leitmotiv gilt aber seit Anbeginn das Lösen von Gleichungen. Der englische Mathematiker Michael Atiyah hat es einmal wie folgt formuliert:

Wenn ein Biologe jemand ist, der Pflanzen und Tiere studiert, was studiert dann ein Mathematiker? Die Antwort dürfte niemanden überraschen – er studiert Gleichungen; auf der untersten Ebene zunächst algebraische Gleichungen und auf einer höheren dann Differentialgleichungen.

Unterteilt man die Entwicklung der Mathematik nach historischen Abschnitten, so stellen die „Elemente“ von Euklid die erste Phase dar. Sowohl in der Geometrie als in der Zahlentheorie ist bis Anfang des 17. Jahrhunderts nichts wesentlich Neues hinzugekommen. Etwa ab 800 n. Chr. ist nach Übernahme der aus Indien stammenden Zifferschreibweise im arabischen Sprachraum die Algebra entstanden und hat zusammen mit dem praktischen Rechnen mit den indischen Ziffern die Mathematik bis Ende des 16. Jahrhunderts bestimmt.

Die zweite Phase beginnt in der ersten Hälfte des 17. Jahrhunderts als die Algebra auch die Geometrie durchdringt. Mit der Verwendung reeller Zahlen als Koordinaten wurde die Geometrie algebraisiert und ein rechnerischer Zugang ermöglicht. In den Händen von Pierre de Fermat und René Descartes entstand die analytische Geometrie. Die zweite Hälfte des 17. Jahrhunderts gehörte der Infinitesimalrechnung. Die Integrationsmethoden von Archimedes und Kepler wurden streng gefasst und bildeten zusammen mit der Differentialrechnung die Analysis (Infinitesimalrechnung). Damit konnten Isaak Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz und deren Schüler nicht nur geometrische Probleme lösen, die über die Möglichkeiten der Algebra hinaus gingen, sondern auch Fragen der Mechanik behandeln (Newtonsches Gravitationsgesetz, gewöhnliche Differenzialgleichungen). Die Methoden der Analysis eröffneten ganz neue Bereiche der Mathematik, zu denen etwa die Variationsrechnung und die Wahrscheinlichkeitsrechnung gehörten, und die die Mathematik des 18. Jahrhunderts prägten.

Mit den Arbeiten von Carl Friedrich Gauß beginnt Anfang des 19. Jahrhunderts die dritte Phase, die bis heute andauert. Seither werden in immer stärkerem Maß algebraische und topologische Strukturen herausgearbeitet, die sich in nahezu allen mathematischen Teilbereichen finden lassen. Dabei tragen die Gruppen und Körper zur Auflösung algebraischer Gleichungen (mit Hilfe der Galoistheorie) bei und die Vektorräume und linearen Transformationen zusammen mit den metrischen Räumen zum Lösen von Gleichungssystemen, Integralgleichungen und partiellen Differenzialgleichungen (mit den Methoden der Funktionalanalysis). Ferner wird mit der von Georg Cantor begründeten Mengenlehre ein allgemeines Fundament für die Mathematik geschaffen, das auch eine tiefer gehende Analyse der Grundlagen ermöglicht hat.

Das folgende Diagramm gibt eine wenn auch stark vereinfachte Übersicht über die wichtigsten mathematischen Teilbereiche.

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Von hier aus gibt es Beziehungen zu allen Naturwissenschaften und ebenso zu den Gesellschaftswissenschaften. Die Mathematik ist aus unserer Gesellschaft nicht mehr wegzudenken. Ohne sie wären moderne Kommunikationsmittel (Mobiltelefon, Internet) und technische Errungenschaften wie Fernseher, CD/DVD-Player oder Computer nicht möglich.

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