Numerische Mathematik

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Die näherungsweise Berechnung reeller Zahlen ist fast so alt wie die Mathematik. Bereits bei den Babyloniern findet man eine Approximation der Zahl \(\sqrt{2}\) durch eine rationale Zahl. Allgemeine numerische Methoden zur Berechnung von Zahlwerten oder von Funktionen zu finden ist die Aufgabe der numerischen Mathematik – kurz auch Numerik genannt.

Im Wesentlichen stellen sich zwei Aufgaben: die Approximation und die Interpolation. Dabei werden Nullstellen von Funktionen approximiert (oder auch Extremwerte) sowie Integrale von Funktionen oder allgemeiner Lösungen von Differenzialgleichungen, oder es werden ganze Funktionen durch einfachere Funktionen, etwa durch Polynome oder trigonometrische Funktionen, approximiert. Bei der Interpolation werden zu einer gegebenen Funktion, deren Werte an endlich vielen Stellen bekannt sind, Polynome gesucht, die an diesen Stellen mit ihr übereinstimmen. Diese Interpolationspolynome können auch zur Integration der Funktion verwendet werden.

Die Lösung einer Gleichung kann stets als Nullstelle einer geeignet definierten Funktion aufgefasst werden. Je nach Typ der Gleichung oder Funktion verwendet man unterschiedliche Methoden für deren Lösung: Iterationsverfahren von Jacobi bei linearen Gleichungen oder Gleichungssystemen, Fixpunktiteration bei nichtlinearen Funktionen, Newton-Verfahren bei differenzierbaren Funktionen.

Das Newton-Verfahren liefert ausgehend von einem geeigneten Ausgangswert x1 iterativ für einen Wert xn einen neuen Wert xn+1, der in der Regel näher an der gesuchten Nullstelle liegt:

\(x_{n+1} = x_n – \frac {f(x_n)}{f^\prime(x_n)}\)

In der Regel heißt hier, dass die Folge xn nicht in jedem Fall gegen die Nullstelle konvergieren muss.

Die meisten reellen Zahlen sind nicht als endliche Dezimalbrüche (Gleitkommazahlen) darstellbar, so dass man sich auf jeden Fall mit einem Näherungswert begnügen muss. Dabei spielt die Fehlerabschätzung eine wichtige Rolle. Beim Rechnen mit Gleitkommazahlen können bei schlecht gewählten Anfangswerten oder Iterationsvorschriften stets Fehler auftreten, die es zu vermeiden gilt. Das Entwerfen und das Prüfen von stabilen, d. h. nicht Fehler anfälligen, Verfahren ist eine wichtige Aufgabe der Numerik.

Parktischen Näherungsverfahren gehen meist theoretische Überlegungen der Analysis voraus. Bei der Suche nach Nullstellen ist es vorteilhaft zu wissen, in welchem Bereich man suchen muss, also ob es überhaupt Nullstellen gibt und wie man diese eingrenzen kann (Zwischenwertsatz von Bolzano).

Bei der Approximation stetiger Funktionen nutzt man aus, dass es stets beliebig genaue, auf einem kompakten Intervall gleichmäßige Approximationen durch Polynome gibt (Approximationssatz von Weierstraß).

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