Nichtstandard Analysis

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Die Nichtstandardanalysis (engl. non-standard analysis) wurde in den 60er Jahren des 20. Jahrhunderts vor allem von Abraham Robinson entwickelt. Sie geht davon aus, dass es – im Gegensatz zur herkömmlichen Standard-Analysis – unendlich kleine und unendlich große Zahlen gibt, mit denen ganz normal gerechnet werden kann. Damit wird das archimedische Axiom außer Kraft gesetzt. Dieses besagt: Zu je zwei positiven reellen Zahlen 0 < a, b gibt es stets ein \(n \in \mathbb{N}\) mit b < n∙a.

Danach gilt für eine reelle Zahl \(a\geq 0\), die folgende Aussage, die man in der Analysis häufig verwendet: Ist \(a < \frac{1}{n}\) für jedes n, so ist a = 0. Andernfalls wäre a > 0 und mit b = 1 und einer hinreichend großen Zahl n hätte man 1 < n∙a, d.h. \(a > \frac{1}{n}\)

In der Nichtstandardanalysis gilt dieser Schluss nicht, denn darin es gibt unendlich kleine Zahlen ungleich 0.

Bereits Newton und Leibniz argumentierten mit infinitesimalen Zahlen ungleich 0, mit denen man wie mit gewöhnlichen reellen Zahlen rechnen konnte, um sie am Ende der Rechnung beim Vergleich mit gewöhnlichen reellen Zahlen null zu setzen.

Beispiel: Nach Leibniz erhält man die Ableitung der Funktion y = x2 im Punkt x, indem man zu x die infinitesimale Größe dx addiert. Das ergibt für die Änderung der Funktion:

\(dy = (x + dx)^2-x^2 = x^2 + 2xdx + dx^2-x^2 = 2xdx + dx^2\)

und nach Division durch dx für den Differenzialquotienten

\(\frac{dy}{dx} = 2x + dx\)

Auf der linken Seite steht die Steigung der Tangente und auf der rechten Seite kann man die infinitesimale Größe dx im Vergleich zu 2x vernachlässigen.

Dieses Vorgehen hat bereits bei manchen Zeitgenossen von Leibniz und Newton vehemente Kritik hervorgerufen. Man kann nicht einerseits durch dx dividieren, was nur möglich ist für dx ≠ 0, und anschließend dx = 0 annehmen.

Die Nichtstandardanalysis schafft einen Rahmen, der diese Argumentation rechtfertigt. Der Körper \(\mathbb{R}\) der reellen Zahlen wird erweitert zum Körper *\(\mathbb{R}\) der hyperreellen Zahlen. Der Körper ist weiterhin geordnet, d.h. man kann je zwei hyperreelle Zahlen vergleichen, die Anordnung erfüllt aber nicht mehr das archimedische Axiom.

Eine hyperreelle Zahl heißt endlich, wenn es eine natürliche Zahl m mit –m < x < m gibt, ansonsten heißt x unendlich. Der Kehrwert einer unendlichen hyperreellen Zahl ist eine infinitesimale, d.h. unendlich kleine hyperreelle Zahl.

Die reellen Zahlen sind so in die hyperreellen Zahlen eingebettet, dass es zu jeder hyperreellen Zahl \(x \in\) *\(\mathbb{R}\) einen Standardteil \(st(x) \in \mathbb{R}\) gibt, so dass die Differenz x – st(x) eine infinitesimale Zahl ist.
Für \(x \in \mathbb{R}\) ist st(x) = x.

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