Arithmetik – Zahlentheorie

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Arithmetik oder Zahlentheorie ist die Lehre von den Eigenschaften der Zahlen. Sie umfasst nicht nur den alltäglichen Umgang mit Zahlen, d.h. die Grundrechenarten der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division, sondern vor allem das Studium der Teilbarkeitseigenschaften natürlichen Zahlen.

Die Grundbausteine der Zahlen, so zu sagen die Atome, sind die Primzahlen, d.h. die natürlichen Zahlen mit nur zwei natürlichen Teilern, der Zahl 1 und der Zahl selbst. Die ersten Primzahlen sind: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 …. Außer der 2 sind alle Primzahlen ungerade. Jede natürliche Zahl größer als 2 ist entweder eine Primzahl oder das Produkt von Primzahlen. So ist etwa die Zahl 840 darstellbar als Produkt von 2∙3∙5∙4∙7.

Genauer gilt der Fundamentalsatz der Arithmetik: Jede natürliche Zahl größer als 1 ist eindeutiges Produkt von Primzahlen, wenn man von der Reihenfolge der Faktoren absieht.

Neben der Frage nach der Zerlegung einer Zahl in Primzahlen hat man sich in der Zahlentheorie mit dem Lösen von Gleichungen mit einer oder mehreren Unbekannten in der Menge der natürlichen oder ganzen Zahlen beschäftigt. Solche Gleichungen werden diophantische Gleichungen genannt. Beispiele sind die Fermatschen Gleichungen xn + yn = zn. Für n = 2 wird die Gleichung durch die pythagoreischen Zahlentripel gelöst werden, von denen es unendlich viele gibt. Die bekanntesten sind x = 3, y = 4 und z = 5 oder x = 5, y = 12 und z = 13. Für n > 2 hat die Gleichung keine ganzzahligen Lösungen x, y und z mit xyz ≠ 0 (Großer Fermatscher Satz – bewiesen von Pierre de Fermat für n = 4, von Leonhard Euler für n = 3 und von Andrew Wiles für alle n).

Man unterscheidet je nach verwendeten Methoden vier Bereiche der Zahlentheorie:

1. Elementare Zahlentheorie

Die elementare Zahlentheorie ist neben der euklidischen Geometrie die älteste mathematische Teildisziplin. Seit der Antike beschäftigen sich Mathematiker mit Fragen der Teilbarkeit von Zahlen (gerade und ungerade Zahlen, größter gemeinsamer Teiler (ggT), kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) Dreiecks- und Viereckszahlen, Quadratzahlen, Primfaktorzerlegung).

Der größte gemeinsame Teiler von zwei natürlichen Zahlen a und b kann mit dem Euklidischen Algorithmus bestimmt werden, wenn man nicht deren Primfaktorzerlegung kennt. Dazu zieht man solange die jeweils kleinere Zahl von der größeren Zahl ab bis die Differenz 0 wird. Der letzte Subtrahend (oder Minuend) ist dann ggT(a; b). Man kann auch die jeweils größere Zahl durch die kleinere mit Rest dividieren und dann mit der kleineren und dem Rest so lange fortfahren bis die Division aufgeht. Der letzte Rest ist dann ebenfalls gleich dem ggT(a; b).

Beispiel: Gesucht ist ggT(414; 126). Es gilt:

414 – 126 = 288;
288 – 126 = 162;

162 – 128 = 36;
126 – 36 = 90;
90 – 36 = 54;

54 – 36 = 18
36 – 18 = 18.

Ende: ggT(414,126) = 18.

Zur elementaren Zahlentheorie gehören auch der kleine Fermatsche Satz und dessen Verallgemeinerung der Satz von Euler: Für zwei teilerfremde natürliche Zahlen a und n gilt \(a^{\varphi }\)(n)\(\equiv\) 1 (mod n), man sagt \(a^{\varphi}\) und 1 seien kongruent modulo n, was nichts anderes bedeutet, als dass die Division von \(a^{\varphi}\)– 1 durch n ohne Rest auf geht. Die Eulersche Funktion \(\varphi\) (n) gibt die Anzahl der zu n teilerfremden Zahlen kleiner n an. Für eine Primzahl p ist \(\varphi\) (p) = p – 1 und die Aussage wird dann als kleiner Fermatscher Satz bezeichnet.

Der Satz hilft unter anderem bei der Reduktion großer Zahlen modulo n.

Beispiel: Wie heißt die letzte Ziffer der Zahl 1338?

Die letzte Ziffer sind die Einer, man rechnet also modulo 10. Nun gilt (10) = 4, da nur 1, 3, 7 und 9 zu 10 teilerfremd sind. Damit ist 1338 = 134∙913² 1913² (mod 10) 169 (mod 10) 9 (mod 10), die letzte Ziffer ist also 9.

Der Satz von Euler hat (wie viele weitere Methoden der Zahlentheorie) eine wichtige Anwendung in der Kryptographie (->Kryptologie) gefunden (RSA-Algorithmus).

Der euklidische Algorithmus wird zur Lösung linearer diophantischer Gleichungen ax + by = c verwendet. Für quadratische diophantische Gleichungen der Form x2dy2 = 1 verwendet man Kettenbruchentwicklungen.

2. Analytische Zahlentheorie

Leonhard Euler hat herausgefunden, dass man Methoden der Analysis, speziell der Funktionstheorie benutzen kann, um zahlentheoretische Fragen zu beantworten. Carl Friedrich Gauß hat einen Zusammenhang zwischen der Anzahl \(\pi\)(x) der Primzahlen kleiner oder gleich x und der Funktion \(\frac{x}{ln x}\) gefunden. Er hat vermutet, dass \(\lim_{x->\infty}\) \(\frac{\pi(x)}{x/lnx}\) = 1

gilt. Der Beweis dieses Primzahlsatzes wurde aber erst 1896 von Jacques Hadamard und Charles de la Vallée-Poussin erbracht. Weiteren Aufschluss über die Verteilung der Primzahlen gibt die Riemannsche Funktion. Solange Bernhard Riemanns Vermutung über die Lage der Nullstellen dieser Funktion aber noch nicht bewiesen ist, müssen die daraus gezogenen Folgerungen als ungesichert gelten. Zur analytischen Zahlentheorie gehören auch die Beweise, dass die Eulersche Zahl e (Hermite 1873) und die Kreiszahl \(\pi\) (Lindemann 1882) transzendent sind, also nicht als Nullstellen von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten auftreten.

3. Algebraische Zahlentheorie

Die algebraische Zahlentheorie wurde um 1800 von Gauß begründet. Er führte das Rechnen mit Kongruenzen ein, gab mehrere Beweise für das quadratische Reziprozitätsgesetz und verwendete Zahlbereiche, die über die ganzen Zahlen hinausgehen (quadratische Zahlkörper, gaußsche Zahlen). Diese Zahlbereiche spielten unter anderem eine wesentliche Rolle beim Versuch den Großen Fermatschen Satz zu beweisen.

4. Algorithmische Zahlentheorie

Die algorithmische Zahlentheorie versucht zahlentheoretische Probleme algorithmisch anzugehen, so dass sie mit Hilfe von Computern behandelt werden können. Hierzu gehört beispielsweise die Faktorisierung großer Zahlen bzw. die Suche nach immer größeren Primzahlen.

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