Algebra

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Der Begriff „Algebra“ ist abgeleitet vom Titel des Buchs Al-kitab al-muhtasar fi hisab al-gabr wa’l-muqabala, in dem der persische Mathematiker Mohammed ibn Musa al-Chwarizmi um 830 n. Chr. das systematische Lösen quadratischer Gleichungen beschrieben hat.

Die heutige Algebra umfasst aber weit mehr als das Lösen von Gleichungen. Aus den Bemühungen darum sind in den letzten beiden Jahrhunderten verschiedene Teildisziplinen entstanden, von denen nur die ersten Grundbegriffe zum Schulstoff gehören. Grob kann man die Algebra wie folgt unterteilen:

Elementare Algebra: Sie beinhaltet die in der Schule vermittelten Regeln zum Rechnen mit natürlichen, ganzen, rationalen und reellen (oder auch mit komplexen) Zahlen, sowie mit Termen und die Lösung einfacher algebraischer Gleichungen mit einer oder mehreren Variablen (quadratische Gleichungen, lineare Gleichungen und lineare Gleichungssysteme).

Beispiel:

\(x^2 – 7x + 12 = 0\) kann zerlegt werden in \((x – 4)(x – 3) = 0\) und besitzt daher die Lösungen \(x_1 = 4\) und \(x_2=3\).

Da es bei den algebraischen Operationen auf die einzelnen Zahlenwerte oft nicht ankommt, werden zur Formulierung der Rechengesetze (Assoziativgesetz, Kommutativgesetz, Distributivgesetz) Buchstaben verwendet. Man spricht daher auch von "Buchstabenrechnung".

Klassische Algebra: Ursprünglich beschäftigte sich die Algebra mit der Lösung allgemeiner algebraischer Gleichungen über dem Körper der reellen und komplexen Zahlen. Dass man komplexe Zahlen benötigt und mit diesen auskommt, besagt der Fundamentalsatz der Algebra (Gauss 1799, ->Funktionentheorie): Jedes Polynom vom Grad n größer gleich 1 lässt sich (wie im obigen Beispiel) in n Linearfaktoren mit gegebenenfalls komplexen Koeffizienten zerlegen.

Beispiel:

Die Gleichung \(x^2+1=0\) kann mit Hilfe der komplexen Einheit i zerlegt werden in \((x – i)(x + i) = 0\). Dabei besitzt i die Eigenschaft \(i^2=-1\).

Bis zum Grad n = 4 gibt es Formeln, die aus Quadrat- und Kubikwurzeln aufgebaut sind (p-q-Formel, Cardanische Formeln) und mit denen man stets die Linearfaktoren angeben kann. Für Gleichungen vom Grad n > 4 gelingt dies nur in Spezialfällen, wohingegen sich die Lösungen der allgemeinen Gleichung nicht durch Wurzelausdrücke darstellen lassen (Abel 1824).

Abstrakte Algebra: Im Zusammenhang mit zahlentheoretischen Problemen und dem Studium der auflösbaren Gleichungen hat man verschiedene allgemeine algebraische Strukturen entdeckt. Dazu gehören:

Eine Gruppe (Galois 1832) ist eine Menge mit einer Verknüpfung, die das Assoziativgesetz erfüllt, in der es ein neutrales Element gibt und zu jedem Element ein inverses Element.

Ein Ring (Dedekind 1871) ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen + und •, die mit + eine Gruppe ist und das Kommutativgesetz erfüllt und für die das Distributivgesetz gilt.

Die in der Schulmathematik am meisten verwendete mathematische Struktur ist der Körper (Dedekind 1879, Steinitz 1910). Dabei handelt es sich um einen Ring, der auch bezüglich der zweiten Verknüpfung eine kommutative Gruppe ist, wenn man das Nullelement 0, das neutrale Element bezüglich +, wegnimmt. Durch 0 kann man nicht "dividieren", das heißt, zum Nullelement gibt es kein inverses Element bezüglich •.

Vektorräume (Grassmann 1844) bilden die Grundlage der linearen Algebra bzw. der analytischen Geometrie.

Darüber hinaus haben sich weitere algebraische Teilbereiche entwickelt wie zum Beispiel:

die Computeralgebra (das exakte Rechnen mit algebraischer Ausdrücke ohne Runden)

die Boolesche Algebra (Schaltalgebra, Mengenalgebra)

die multilineare Algebra (Determinanten und Tensoren)

die Algebra hyperkomplexer Systeme (Quaternionen, Matrizenalgebren)

die homologische Algebra (speziell für die algebraische Topologie entwickelte Methoden – Homologie und Kohomologie – führte zur Kategorientheorie)

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